Background Image
Previous Page  3 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 12 Next Page
Page Background

Решение задачи (1)–(3) представим суммой ряда Фурье. Для по-

строения соответствующей ортонормированной системы запишем за-

дачу Штурма – Лиувилля в виде уравнений

(

p

(

x

)

ϕ

0

(

x

))

0

=

λp

(

x

)

ϕ

(

x

);

(8)

ϕ

(0) =

ϕ

(

π

) = 0

.

(9)

Рассмотрим пространства

L

2

(0

, π

)

и

L

2

(Ω)

, скалярное произведе-

ние в которых задается равенствами

(

ϕ, ψ

) =

Z

[0

]

ϕ

(

x

)

ψ

(

x

)

p

(

x

)

dx, ϕ, ψ

L

2

(0

, π

);

(

u, v

) =

Z

Ω

u

(

x, t

)

v

(

x, t

)

p

(

x

)

dx dt, u, v

L

2

(Ω)

.

Для любой функции

u

L

2

(Ω)

обозначим

||

u

||

=

p

(

u, u

)

.

Задача, описываемая уравнениями (8), (9), имеет положительные,

простые собственные значения

λ

=

λ

2

n

,

n

N

(

λ

n

>

0)

, которым

соответствуют собственные функции

ϕ

n

(

x

)

[12]. Предположим, что

функции

ϕ

n

(

x

)

нормированы в пространстве

L

2

(0

, π

)

. Согласно тео-

реме Стеклова, система функций

{

ϕ

n

(

x

)

}

является полной ортонорми-

рованной в пространстве

L

2

(0

, π

)

. Из уравнений (8), (9) следует, что

система функций

ϕ

0

n

(

x

)

λ

n

также ортонормирована в пространстве

L

2

(0

, π

)

. Для задачи Штурма – Лиувилля (8), (9) доказано следующее

асимптотическое представление собственных значений [12]:

λ

n

=

n

+

B

2

π

1

n

+

α

n

,

(10)

где

α

n

=

O

1

n

2

, n

N

.

Пусть

H

1

(Ω)

— пространство Соболева, полученное замыканием

пространства

C

(Ω)

по норме

||

u

||

1

=

  Z

Ω

(

u

2

+

u

2

x

+

u

2

t

)

p

(

x

)

dxdt

 

1

/

2

,

H

0

1

(Ω)

— пространство, полученное замыканием по норме

|| ∙ ||

1

про-

странства бесконечно дифференцируемых во множестве

Ω

функций,

финитных по

x

на отрезке

[0

, π

]

при каждом

t

. Система функций

Λ =

(

1

T

ϕ

n

(

x

)

,

r

2

T

ϕ

n

(

x

) cos

a

b

mt ,

r

2

T

ϕ

n

(

x

) sin

a

b

mt

)

m,n

N

является полной ортонормированной в пространстве

L

2

(Ω)

системой.

Обозначим

D

множество конечных линейных комбинаций функций

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

5