Background Image
Previous Page  5 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 12 Next Page
Page Background

J

Рассмотрим случай

B >

0

(случай

B <

0

аналогичен). Обозна-

чим

M

=

{

(

n, m

)

N

×

Z

+

|

μ

nm

6

= 0

, bn

6

=

am

}

[

[

(

n, m

)

N

×

Z

+

|

μ

nm

6

= 0

, m

=

b

a

n,

n

a

N, n

n

0

;

Λ

1

=

(r

2

T

ϕ

n

(

x

) cos

nt,

r

2

T

ϕ

n

(

x

) sin

nt n,

n

a

N, n > n

0

)

;

Λ

2

=

1

T

ϕ

n

(

x

)

|

n

N

[

[ (r

2

T

ϕ

n

(

x

) cos

a

b

mt,

r

2

T

ϕ

n

(

x

) sin

a

b

mt

(

n, m

)

M, m

6

= 0

)

;

N

1

= Ker (

A

)

, N

2

=

L

1

)

— замыкание в пространстве

L

2

(Ω)

конеч-

ных линейных комбинаций функций из множества

Λ

1

,

N

3

=

L

2

)

.

Отметим, что на

N

2

собственные значения оператора

A

равны

B/π

+

+

α

n

и принадлежат к интервалу

(

B/

(2

π

)

,

3

B/

(2

π

))

.

Введем конечномерное подпространство

E

n

=

N

1

N

2

n

N

3

n

,

где

2

n > n

0

и

N

2

n

, N

3

n

— линейные оболочки множеств

ϕ

k

(

x

) cos

kt, ϕ

k

(

x

) sin

kt k,

k

a

N, n

0

< k

n

;

n

ϕ

k

(

x

) cos

a

b

mt, ϕ

k

(

x

) sin

a

b

mt

|

(

k, m

)

M, k, m

n

o [

[

ϕ

k

(

x

) cos

kt, ϕ

k

(

x

) sin

kt k,

k

a

N, k

n

0

.

Рассмотрим на подпространстве

E

n

функционал

F

(

u

) =

1

2

(

Au, u

)+

+

Z

Ω

G

(

x, t, u

)

dxdt

, где

G

(

x, t, u

) =

u

Z

0

g

(

x, t, s

)

ds.

Доказательство теоремы проведем, используя метод Файрайсла [14],

разобьем доказательство на две части.

1. Доказательство существования критических точек

F

|

E

n

.

2. Переход к пределу при

n

→ ∞

.

1.

Доказательство существования критических точек

F

|

E

n

.

Представим

E

n

=

G

c

L

c

, где

G

c

, L

c

— линейные комбинации соб-

ственных функций оператора

A

с собственными значениями больши-

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

7