Background Image
Previous Page  8 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 12 Next Page
Page Background

Вычтем из полученного уравнения выражение (16) и запишем

γ

(

c

)

Z

Ω

1

2

g

(

x, t, u

n

)

u

n

G

(

x, t, u

n

)

dx dt

≥ −

c.

Из (5), (6) выведем

δ

|

u

|

r

A

4

2

+

A

2

|

u

| −

A

8

1

2

ug

(

x, t, u

n

)

G

(

x, t, u

n

)

1

2

A

1

+

1

r

A

3

|

u

|

r

+

A

2

2

+

A

5

|

u

|

+

A

8

.

Здесь

δ

=

1

2

A

3

1

r

A

1

. Следовательно, существуют константы

C

1

,

C

2

>

0

такие, что

||

u

n

||

r

C

2

;

||

u

n

||

r

r

+

C

2

||

u

n

||

r

+

C

2

C

1

|

c

|

.

(17)

Поскольку

||

u

n

||

r

r

+ 1

≥ ||

u

n

||

r

, найдем

||

u

n

||

r

r

C

1

|

c

| −

2

C

2

C

2

+ 1

.

(18)

I

2.

Переход к пределу при

n

→ ∞

.

Из (17) следует существова-

ние подпоследовательности, которую также обозначим

u

n

,

u

n

u

в пространстве

L

r

(Ω)

слабо,

g

(

x, t, u

n

)

h

в

L

q

(Ω)

слабо. Здесь

q

= (

r

1)

/r

. Докажем, что

u

— решение (обобщенное).

Пусть

u

n

=

u

1

n

+

u

2

n

+

u

3

n

,

u

=

u

1

+

u

2

+

u

3

;

u

k

, u

kn

N

k

,

k

∈ {

1

,

2

,

3

}

. Тогда

u

kn

u

k

слабо в пространстве

L

2

(Ω)

,

k

∈ {

1

,

2

,

3

}

.

На пространстве

N

2

оператор

А

ограничен. Следовательно,

Au

2

n

Au

2

слабо в пространстве

L

2

(Ω)

. Действительно, для любого

ϕ

L

2

(Ω)

имеем

(

Au

2

n

, ϕ

) = (

Au

2

n

, ϕ

2

) = (

u

2

n

, Aϕ

2

)

(

u

2

, Aϕ

2

) = (

Au

2

, ϕ

)

,

где

ϕ

2

— ортогональная проекция в пространстве

L

2

(Ω)

функции

ϕ

на

подпространство

N

2

.

Пусть

a

n

mk

, b

n

mk

, a

0

mk

, b

0

mk

— коэффициенты Фурье

u

n

и

u

. Обозначим

J

R

=

X

|

μ

mk

|≥

R

|

μ

mk

|

(

a

n

mk

)

2

+ (

b

n

mk

)

2

. Возьмем

R >

2

c

1

+

c

2

1

и

w

=

X

|

μ

mk

|≥

R

sgn

(

μ

mk

)

ϕ

m

(

x

)

a

n

mk

cos

a

b

kt

+

b

n

mk

sin

a

b

kt .

Подставим

w

в (15). Используя (12) и неравенство Гельдера, получим

J

R

=

Z

Ω

g

(

x, t, u

n

)

wdx dt

≤ ||

g

(

x, t, u

n

)

||

q

||

w

||

r

C

3

C

1

||

w

||

β

=

10

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4