Background Image
Previous Page  4 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 12 Next Page
Page Background

из системы

Λ

. Определим оператор

A

0

:

L

2

(Ω)

L

2

(Ω)

, для ко-

торого

D

(

A

0

) =

D

и

A

0

ϕ

=

tt

(

x

)

x

ϕ

D

(

A

0

)

.

Пусть

A

0

ϕ

=

1

p

A

0

ϕ

ϕ

D

(

A

0

)

.

Обозначим

A

= (

A

0

)

в пространстве

L

2

(Ω)

. Функции из системы

Λ

— собственные функции операторов

A

0

и

A

с собственными значениями

μ

nm

=

λ

2

n

a

b

m

2

,

n

N

,

m

Z

+

,

которым соответствуют собственные функции

T

m

ϕ

n

(

x

) cos ((

a/b

)

mt

)

,

n

N, m

Z

+

,

T

m

ϕ

n

(

x

) sin ((

a/b

)

mt

)

,

n, m

N

. Здесь

T

m

=

 

1

.

T , m

= 0;

2

.

T , m

N.

Обозначим

σ

(

A

) =

{

μ

nm

|

n

N, m

Z

+

}

.

С учетом представления (10) можно записать представление

μ

nm

=

1

b

2

(

nb

am

)(

nb

+

am

) +

B

π

+

α

n

, где

α

n

0

при

n

→ ∞

.

Откуда следует существование единственной предельной точки

B/π

у множества

σ

(

A

)

. При

B

6

= 0

обозначим через

n

0

такое натуральное

число, что

|

α

n

|

<

|

B

|

/

(2

π

)

при

n > n

0

.

Стандартно доказываются следующие свойства оператора

A

:

1) оператор

A

самосопряжен в пространстве

L

2

(Ω)

; 2)

R

(

A

)

зам-

кнут в пространстве

L

2

(Ω)

; 3)

L

2

(Ω) = Ker

A

R

(

A

)

; 4) при

B

6

= 0

пространство

Ker

A

конечномерно [1].

При

r >

1

норму в пространстве

L

r

(Ω)

определим равенством

||

u

||

r

=

  Z

Ω

|

u

|

r

p

(

x

)

dx

 

1/

r

,

u

L

r

(Ω)

.

Определение.

Обобщенным решением задачи

(1)

(3)

называ-

ется функция

u

L

r

(Ω)

такая, что

Z

Ω

u

(

ϕ

tt

(

p

(

x

)

ϕ

0

x

)

0

x

)

dx dt

+

+

Z

Ω

g

(

x, t, u

)

ϕ dx dt

= 0

ϕ

D

.

Теорема 1.

Пусть выполнены условия

(4)

,

(7)

,

функция

g

непре-

рывна на

Ω

×

R, T

— периодична по

t

, удовлетворяет требованиям

(5)

,

(6)

и либо функция

g

не зависит от

t

, либо

g

(

x, t,

u

) =

g

(

x, t, u

)

при всех

(

x, t, u

)

Ω

×

R

. Предположим также, что либо

B >

0

и

функция

g

не убывает по

u

при всех

(

x, t

)

Ω

,

либо

B <

0

и функция

g

не возрастает по

u

при всех

(

x, t

)

Ω

. Тогда для любого

d >

0

су-

ществует обобщенное решение

u

L

r

(Ω)

задачи

(1)

(3)

такое, что

||

u

||

r

d

.

6

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4