7 / 12
≤ −
1
2
X
(
m,k
)
∈
M
|
μ
mk
|
β
|
μ
mk
|
1
−
β
a
2
mk
+
b
2
mk
+
C
|||
u
|||
r
β
+
C
|||
u
|||
β
≤
≤ −
1
2
|
w
|
1
−
β
|||
u
|||
2
β
+ 2
C
=
−
1
2
|
w
|
1
−
β
+ 2
C
→ −∞
при
|
w
| → ∞
. Откуда вытекает утверждение леммы.
I
Возьмем произвольное
c <
0
. Зафиксируем число
c
1
< ω
(
c
)
такое,
что
L
c
1
⊂
L
ω
(
c
)
L
c
1
6
=
L
ω
(
c
)
. Обозначим
γ
(
c
) = min (
m
(
c
1
)
, c
−
1)
.
Докажем, что на отрезке
[
γ
(
c
)
, c
]
есть критическое значение
F
E
n
. Предположим противное. Тогда стандартно доказывается су-
ществование непрерывного отображения
h
:
E
n
→
E
n
такого, что
h
(
{
u
|
F
(
u
)
≤
c
}
)
⊆ {
u
|
F
(
u
)
≤
γ
(
c
)
}
и
h
является нечетным ото-
бражением, если функция
g
нечетна относительно
u
, или
h
(
u
(
∙
, t
+
+
τ
)) =
h
(
u
)(
∙
, t
+
τ
)
∀
τ
∈
[0
, T
]
, если функция
g
не зависит от
t
[14].
Пусть
P
:
E
n
→
L
c
1
— ортогональный проектор в пространстве
L
2
(Ω)
.
Докажем, что
Ph
(
u
)
6
= 0
∀
u
⊂
S
n
\
L
ω
(
c
)
.
(13)
Предположим противное, т.е. существует
u
0
∈
S
n
T
L
ω
(
c
)
такое, что
Ph
(
u
0
) = 0
. Тогда
h
(
u
0
)
∈
G
ω
(
c
)
⊂
G
c
1
, поскольку
c
1
< ω
(
c
)
. Тогда из
(11) следует
F
(
h
(
u
0
))
> m
(
c
1
)
.
(14)
Поскольку
u
0
∈
L
ω
(
c
)
T
S
n
, имеем
F
(
u
0
)
≤
c
. Таким образом,
F
(
h
(
u
0
))
≤
γ
(
c
)
≤
m
(
c
1
)
. Это противоречит (14). Следовательно,
верно (13). Однако
Ph
— отображение сферы в пространстве
L
ω
(
c
)
на подпространство меньшей размерности. Если функция
g
нечетна
относительно
u
, то это противоречит теореме Борсук – Улама [14].
Если функция
g
не зависит от
t
, то это противоречит
S
1
-теореме
Борсук – Улама [14]. Существует критическая точка
u
n
функционала в
F
E
n
такая, что
F
(
u
n
)
∈
[
γ
(
c
)
, c
]
, т.е.
(
Au
n
, w
) +
Z
Ω
g
(
x, t, u
n
)
w dx dt
= 0
∀
w
∈
E
n
;
(15)
γ
(
A
)
≤
1
2
(
Au
n
, u
n
) +
Z
Ω
G
(
x, t, u
n
)
dx dt
≤
c.
(16)
Умножим (15) на 1/2 и примем
w
=
u
n
:
1
2
(
Au
n
, u
n
) +
1
2
Z
Ω
g
(
x, t, u
n
)
u
n
dx dt
= 0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
9