Background Image
Previous Page  6 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 12 Next Page
Page Background

ми или не меньшими

c

. Из условия (5) выведем

∗∗

1

r

A

3

|

u

|

r

A

5

|

u

| ≤

G

(

x, t, u

)

1

r

A

1

|

u

|

r

+

A

2

|

u

| ∀

x, t, u.

Поэтому для любого действительного

c >

0

и любой функции

u

G

c

получим

F

(

u

)

1

2

c

||

u

||

2

+

A

3

r

||

u

||

r

r

A

5

||

u

||

L

1

A

6

||

u

||

r

1

2

|

c

|||

u

||

2

A

7

||

u

||

.

Обозначим

h

(

τ

) =

A

6

τ

r

1

2

|

c

|

τ

2

A

7

τ

. Функция

h

(

τ

)

ограни-

чена снизу и

h

(

τ

)

+

при

τ

+

. Поэтому существует

m

(

c

) = min

[0

,

+

)

h

(

τ

)

1

.

Следовательно,

F

(

u

)

> m

(

c

)

u

G

c

.

(11)

Разложим функцию

u

E

n

в ряд Фурье:

u

=

X

(

n,m

)

N

×

Z

+

ϕ

n

(

x

)

a

nm

cos

a

b

mt

+

b

nm

sin

a

b

mt .

Обозначим

|||

u

|||

s

=

X

(

n,m

)

N

×

Z

+

|

μ

nm

|

s

a

2

nm

+

b

2

nm

.

Возьмем число

α

r

2

2(

r

1)

,

r

2(

r

1)

и обозначим

β

= 2

α

r

1

r

.

Используя неравенство Хаусдорфа –Юнга и Гельдера, выведем

||

u

||

r

C

1

|||

u

|||

β

u

H

3

n

.

(12)

Обозначим

S

n

=

u

E

n

|||

u

|||

β

= 1

.

Лемма 1.

Для любого действительного числа

d

существует число

w

(

d

)

<

0

такое, что

F

(

u

)

d

u

∈ {

v

L

w

(

d

)

||||

v

|||

β

= 1

}

.

J

Пусть

w <

0

. На множестве

N

2

n

собственные значения оператора

А

положительные. Следовательно,

L

ω

N

3

n

. Пусть

u

L

ω

T

S

n

,

a

mk

, b

mk

— коэффициенты фурье-функции

u

. Используя (12), выведем

существование константы

C >

0

такой, что

F

(

u

)

≤ −

1

2

X

(

m,k

)

M

|

μ

mk

|

a

2

mk

+

b

2

mk

+

A

1

r

Z

Ω

|

u

|

r

dxdt

+

A

2

Z

Ω

|

u

|

dxdt

∗∗

Здесь и далее буквами с индексами

A

1

, A

2

, . . .

;

C

1

, C

2

, . . .

обозначим положи-

тельные константы.

8

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4