МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
DOI: 10.18698/1812-3368-2015-6-3-15
УДК 519.6:531.66:532.516
СПЕКТР СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КВАНТОВЫХ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
А.А. Гурченков
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,
Москва, Российская Федерация
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
challenge2005@mail.ruИсследован спектр собственных значений квантовых систем, допускающих в
классическом пределе существование квадратичных по импульсам первых ин-
тегралов. Показано, что переход от классической интегрируемой модели к
квантовой является однозначным, если интегралы классической динамической
системы зависят от импульсов квадратично. В этом случае квантовая инте-
грируемая модель допускает те же три класса интегрируемых потенциалов,
что и классическая. Рассмотрены классы многопараметрических потенциалов,
первый из которых асимптотически изотропен и представляет собой беско-
нечно глубокую яму с конечным числом критических точек, сосредоточенных
в конечной области плоскости. Второй класс многопараметрических потен-
циалов является двумерным потенциальным барьером. Третий класс много-
параметрических потенциалов — это двумерная потенциальная яма конечной
глубины, которая рассмотрена в качестве примера.
Ключевые слова
:
многопараметрические потенциалы, скобки Пуассона, уравне-
ние Шредингера, теорема Штурма – Лиувилля.
EIGENVALUES SPECTRUM OF QUANTUM INTEGRABLE SYSTEMS
A.A. Gurchenkov
Dorodnitsyn Computing Centre, Russian Academy of Sciences,
Moscow, Russian Federation
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
challenge2005@mail.ruThe paper considers the eigenvalues spectrum of quantum systems admitting the
existence of the first integrals quadratic in momenta within the classical limits. It is
stated that a transfer from the classical integrable model to the quantum one is unique,
if the integrals of the classical dynamic system depend on momenta quadratically.
In this case, both the quantum integrable model and the classical model admit the
same three sets of integrable potentials. The sets of multiparameter potentials are
studied. The first set is asymptotically isotropic. It represents an infinite-depth well
with a finite number of critical points concentrated on the finite area. The second
set of multiparameter potentials is a two-dimensional potential barrier. The third set
of multiparameter potentials is a two-dimensional potential well with a finite depth.
The latter is given as an example.
Keywords
:
multiparameter potentials, Poisson brackets, Schr ¨odinger equation, Sturm –
Liouville theorem.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
3