5 / 13
нями уравнения
q
2
−
(
a
+
c
)
q
+
ac
−
b
2
= 0
,
в котором
a
= 2
λX
2
2
+
A
0
, b
=
−
2
λX
1
X
2
+
B
0
, c
= 2
λX
2
1
+
C
0
;
X
1
=
x
1
+
c
1
/2
λ, X
2
=
x
2
+
a
1
/2
λ
;
A
0
=
a
0
−
a
2
1
/2
λ, B
0
=
b
0
+
a
1
c
1
/2
λ, C
0
=
c
0
−
c
2
1
/2
λ.
Нет необходимости в проведении подробного доказательства
утверждения, так как алгебраическая структура соответствующих
классических интегралов
H
и
K
предопределяет возможность при-
ведения функции Гамильтона к лиувиллевскому виду и разделению
переменных в уравнении Гамильтона – Якоби. Последнее влечет за
собой разделение переменных в уравнении Шредингера. Вопросом,
требующим более внимательного рассмотрения, является задача рас-
ширения локальной ортогональной сетки переменных
q
1
,
q
2
до гло-
бальной системы координат.
При произвольном заданном значении энергии
E
система (6) опре-
деляет две одномерные задачи Штурма – Лиувилля для собственных
значений параметра разделения
Λ
. На плоскости параметров
(Λ
, E
)
для каждой одномерной задачи (6) сравнительно просто может быть
найдена область существования точечного и сплошного спектров па-
раметра
Λ
.
Точечный спектр исходной двумерной задачи представлен на плос-
кости
(Λ
, E
)
узлами решетки, образованной пересечениями двух се-
мейств кривых
Λ
(1)
n
(
E
)
и
Λ
(2)
n
(
E
)
, каждое из которых связано с зависи-
мостью точечного спектра параметра
Λ
от энергии
E
для одномерных
задач (6).
Непрерывный параметр на плоскости
(Λ
, E
)
может быть предста-
влен пересечением семейства кривых точечного спектра одной из од-
номерных задач (6) с областью сплошного спектра другой из задач
(6). В этом случае возникает сплошной конечнократно вырожденный
спектр двумерной задачи. Пересечение областей сплошного спектра
одномерных задач (6) приводит к бесконечнократно вырожденному
сплошному спектру двумерной задачи. Реализация типа сплошного
спектра определяется принадлежностью интегрируемого потенциала
ко второму или третьему классу. Первый класс потенциалов приводит
к строго точечному спектру двумерной задачи.
Отметим, что возможность упорядочения собственных значений
одномерных задач (6) на основе теорем Штурма – Ливувилля (ис-
ключающая, например, пересечения кривых
Λ
(
i
)
n
(
E
)
, принадлежащих
одному семейству) в значительной степени предопределяет общую
структуру спектра двумерной интегрируемой системы.
Замечание.
К двухпараметрической задаче на собственные значе-
ния типа (6) приводят интегрируемые потенциалы задачи о движении
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
7