11 / 13
Здесь
A
i
— произвольные функции двух независимых переменных.
При
i
6
=
j
соотношения (17) приводят к представлению метрических
коэффициентов
G
i
(
q
1
, q
2
, q
3
)
через функции не более чем двух неза-
висимых переменных
G
j
(
q
1
, q
2
, q
3
) =
F
jl
(
q
j
, q
m
)
A
j
(
q
l
, q
m
)
−
A
l
(
q
j
, q
m
)
=
F
jm
(
q
j
, q
l
)
A
j
(
q
l
, q
m
)
−
A
m
(
q
j
, q
l
)
,
l
6
=
m, j
6
=
l, m
6
=
j.
где
F
jl
— произвольные функции.
Если предположить, что
F
jl
=
f
j
(
q
j
)
, т.е. являются функцией одной
переменной, и
A
3
(
q
1
, q
2
) = 2
A
1
(
q
2
, q
3
)
−
A
2
(
q
1
, q
3
) ;
A
1
(
q
2
, q
3
) =
A
1
(
q
2
) +
γA
(
q
3
) ;
A
2
(
q
1
, q
3
) =
A
2
(
q
1
) + 2
γA
(
q
3
)
, γ
=
const
,
то функция Гамильтона (16) приводится к виду
H
=
1
2
f
1
(
q
1
)
p
2
1
−
f
2
(
q
2
)
p
2
2
+
f
3
(
q
3
)
p
2
3
A
1
(
q
2
)
−
A
2
(
q
1
)
−
γA
(
q
3
)
+
U
(
q
1
, q
2
, q
3
)
.
Для потенциалов, удовлетворяющих условию
[
A
1
(
q
2
)
−
A
2
(
q
1
)
−
γA
(
q
3
)]
U
(
q
1
, q
2
, q
3
) =
u
1
(
q
1
) +
u
2
(
q
2
) +
u
3
(
q
3
)
,
функция Гамильтона принимает лиувиллевский вид, явно указываю-
щий на интегрируемость системы. Однако более содержательным, на
взгляд автора настоящей работы, является уточнение структуры функ-
ций двух переменных
F
и
A
из условий того, что трехмерное много-
образие обобщенных координат
(
q
1
, q
2
, q
3
)
представляет собой, напри-
мер, ортогональную сетку в евклидовом пространстве (пространство
нулевой кривизны).
Заключение.
Дальнейшие исследования спектральных свойств
квантовых систем будут опираться на изучение структур в нели-
нейных векторных полях и вопросов, связанных с бифуркациями в
квантовой механике.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Fordy A.P
. Hamiltonian symmetries of the Henon – Heiles systems // Phys. Lett.
1983. Vol. 97A. No. 1–2. P. 21–23.
2.
Romani A.
,
Dorizzi B.
,
Grammaticos B
. Painleve conjecture revisited // Phys. Rev.
Lett. 1983. Vol. 49. No. 21. P. 1539–1541.
3.
Козлов В.В
. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике //
УМН. 1983. Т. 38. № 1. С. 3–67.
4.
Колокольцов В.Н
. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с до-
полнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом // Изв. АН
СССР. Сер. матем. 1982. Т. 46. № 5. С. 994–1010.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
13