3 / 13
Возможны два представления такого оператора
K
→
K
1
=
1
2
(
ap
2
1
+
p
2
1
a
) +
bp
1
p
2
+
p
1
p
2
b
+
1
2
(
cp
2
2
+
p
2
2
c
) +
V
;
K
1
=
p
1
ap
1
+
p
1
bp
2
+
p
2
bp
1
+
p
2
cp
2
+
V.
(3)
Здесь
a
,
b
,
c
и
V
— функции координат
x
1
,
x
2
, а условие тождественного
обращения классической скобки Пуассона в нуль приводит к дополни-
тельному интегралу классической задачи [6]. Условие тождественного
обращения квантовой скобки Пуассона в нуль, например для пары
операторов
H
и
K
1
, приводит к выражениям для функций
a
,
b
,
c
a
=2
λx
2
2
+2
a
1
x
2
+
a
0
, b
=
−
a
1
x
1
−
c
1
x
2
+
b
0
−
2
λx
1
x
2
, c
=2
λx
2
1
+2
c
1
x
1
+
c
0
и к уравнению для потенциала
U
(
x
1
, x
2
)
, тождественно найденному
для классической системы. В приведенных уравнениях
λ
,
a
0
,
a
1
,
c
0
,
c
1
— произвольные постоянные. Нетрудно убедиться, что
K
2
=
K
1
−
1
2
~
−
2
∂
2
a
∂x
2
1
+ 2
∂
2
b
∂x
1
∂x
2
+
∂
2
c
∂x
2
2
.
(4)
Если квантовая скобка Пуассона пары операторов
H
и
K
1
тождествен-
но равна нулю, то и для пары операторов
H
и
K
2
квантовая скобка
Пуассона обращается в нуль в силу соотношений, определяющих ве-
личины
a
,
b
,
c
. Кроме того, в силу (4)
K
2
−
K
1
=
const. Таким образом,
переход от классической интегрируемой модели к квантовой являет-
ся однозначным, если интегралы классической динамической системы
зависят от импульсов квадратично.
Очевидно, что в этом случае квантовая интегрируемая модель до-
пускает те же три класса интегрируемых потенциалов
U
(
x
1
, x
2
)
, что и
классическая система. Первые два класса достаточно подробно описа-
ны в работе [6], поэтому ограничимся лишь их общей характеристи-
кой.
Первый класс многопараметрических потенциалов асимптоти-
чески изотропен
U
(
x
1
, x
2
;
C
1
, . . . , C
N
)
→
C
N
(
x
2
1
+
x
2
2
)
N
при
x
2
1
+
+
x
2
2
→ ∞
.
Здесь
C
n
— произвольные структурные параметры;
N
—
число учитываемых параметров. При
C
N
>
0
потенциал представля-
ет собой бесконечно глубокую яму с конечным числом критических
точек (максимумов, минимумов и седел), сосредоточенных в конеч-
ной области плоскости
(
x
1
, x
2
)
. Усложнение потенциального рельефа
в конечной области плоскости может быть достигнуто при увели-
чении числа учитываемых параметров
C
n
. Движение классической
частицы для такого класса потенциалов является строго финитным.
Примитивный представитель — потенциал двумерного изотропного
осциллятора.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
5