10 / 13
и, кроме того, в выражениях для метрических коэффициентов
a
ij
(13)
A
23
=
A
33
=
B
33
=
a
∗
ij
= 0
. Несложные вычисления указывают на
то, что при
A
2
=
A
3
=
B
1
=
B
3
=
c
1
=
c
2
каждое уравнение (14)
допускает решение методом разделения переменных (по отношению
к переменным
ξ
12
=
x
1
−
x
2
,
ξ
13
=
x
1
−
x
3
,
ξ
23
=
x
2
−
x
3
) и приводит
к обыкновенным дифференциальным уравнениям вида
ξ
ij
d
2
U
ij
dξ
2
ij
+
ζ
dU
ij
dξ
ij
=
γ
ij
=
const
, j > i.
(15)
Решения системы (15) совместны, по крайней мере при
γ
ij
= 0
и
приводят к потенциалу
U
(
x
1
, x
2
, x
3
) =
X
j>i
α
ij
(
x
i
−
x
j
)
2
,
(16)
допускающему существование дополнительного интеграла вида (11).
В этом случае задача является вполне интегрируемой (напомним, что
существует очевидный интеграл
X
p
i
=
const) [3]. Таким образом,
переопределенная система уравнений (14) приводит к некоторым из
известных случаев интегрируемости гамильтоновых систем с тремя
степенями свободы, а ее более полное исследование может дать ответ
на вопрос: каково множество гамильтоновых систем с тремя степе-
нями свободы, допускающее существование одного дополнительного
интеграла, квадратичного по импульсам? Предположение о существо-
вании двух квадратичных и диагональных по обобщенным импульсам
первых интегралов
H
=
1
2
3
X
i
=1
G
i
(
q
1
, q
2
, q
3
)
p
2
i
+
U
(
q
1
, q
2
, q
3
) ;
(17)
K
=
1
2
3
X
i
=1
a
i
(
q
1
, q
2
, q
3
)
p
2
i
+
V
(
q
1
, q
2
, q
3
)
(18)
приводит (в силу условия тождественного обращения скобки Пуассона
в нуль) к системе дифференциальных соотношений между метриче-
скими коэффициентами
G
i
и
a
i
∂G
i
∂q
j
a
j
−
G
j
∂a
i
∂q
j
= 0
и между парой сопряженных потенциалов
U
и
V
a
i
∂U
∂q
i
=
G
i
∂V
∂q
i
.
При
i
=
j
соотношения (18) приводят к связи между коэффициентами
G
i
и
a
i
вида
a
i
(
q
1
, q
2
, q
3
) =
A
i
(
q
k
, q
l
)
G
i
(
q
1
, q
2
, q
3
)
, k
6
=
i, l
6
=
i, k
6
=
l.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6