4 / 13
Второй класс многопараметрических потенциалов представляет
собой двумерный потенциальный барьер, локальная структура по-
верхности которого определяется конечным числом критических то-
чек. Крутизна барьера возрастает при увеличении числа структурных
параметров. Возможность существования локальных минимумов по-
тенциала (“карманов” на фоне барьера) приводит к возможности со-
существования финитного и инфинитного движений для некоторых
значений энергии. Примитивный представитель — линейный потен-
циальный барьер.
Третий класс многопараметрических потенциалов представляет со-
бой двумерную потенциальную яму конечной глубины с конечным
числом критических точек, определяющих локальный рельеф ямы, и
асимптотическим поведением
U
(
x
1
, x
2
;
. . . , C
n
, . . .
)
→
u
(
ϕ
)
x
2
1
+
x
2
2
при
x
2
1
+
x
2
2
→ ∞
,
(5)
где
u
(
ϕ
)
— ограниченная функция полярного угла
ϕ
. Движение ча-
стицы в таком потенциале либо строго финитно, либо инфинитно.
Явное выражение для соответствующего примитивного потенциала
будет приведено ниже. Следует отметить, что третий класс потенциа-
лов в действительности шире, так как наряду с подклассом двумерных
потенциальных ям конечной глубины он включает в себя подкласс
сингулярных многопараметрических потенциалов, для которых носи-
телем сингулярности является кривая второго порядка.
Для всех выделенных многопараметрических интегрируемых по-
тенциалов, связанных с существованием пары коммутирующих опе-
раторов
H
и
K
вида (2) и (3), справедливо утверждение.
Утверждение.
Уравнение Шредингера (1) допускает разделение
переменных в определенной ниже ортогональной сетке переменных
q
1
,
q
2
и приводит к двухпараметрической задаче на собственные зна-
чения
−
1
2
p
−
m
(
q
1
)
d
dq
1
p
−
m
(
q
1
)
dψ
1
dq
1
−
U
(
q
1
)
ψ
1
+
Eq
1
ψ
1
= Λ
ψ
1
;
−
1
2
p
m
(
q
2
)
d
dq
2
p
m
(
q
2
)
dψ
2
dq
2
+
U
(
q
2
)
ψ
2
−
Eq
2
ψ
2
=
−
Λ
ψ
2
.
(6)
Здесь
Λ
— параметр разделения;
U
(
q
) =
∞
X
n
=1
C
n
q
n
;
C
n
— структурные
параметры описанных выше интегрируемых потенциалов;
m
(
q
) = 8
λ q
2
−
(
A
0
+
C
0
)
q
+
A
0
C
0
−
B
2
0
,
(7)
ψ
(
x
1
, x
2
) =
ψ
1
(
q
1
)
ψ
2
(
q
2
)
. Новые переменные
q
1
,
q
2
определены кор-
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6