2 / 13
Введение.
В последние годы развитие физики нелинейных явлений
возродило интерес к проблеме построения вполне интегрируемых ди-
намических систем с конечным числом степеней свободы. О возрож-
дении интереса к этой классической проблеме свидетельствует уве-
личение числа работ, посвященных как попыткам конструктивного
решения, так и поискам новых признаков интегрируемости [1–7].
Конечномерные модели динамики нелинейных полей и сплошных
сред широко используются в современной физике и вопрос об их инте-
грируемости является определяющим при построении соответствую-
щей вполне интегрируемой модели поля или сплошной среды, а также
для определения степени сложности поведения системы (или степени
сложности существенно нелинейных объектов).
Одна из новых тенденций — привлечение качественной теории ди-
намических систем для исследования общей структуры фазового про-
странства вполне интегрируемых систем, выделения существенно не-
линейных объектов, отвечающих особым решениям, и определения их
структурной устойчивости. Наибольший интерес с этой точки зрения
представляют интегрируемые модели со структурными параметрами,
при изменении которых происходит существенная перестройка фазо-
вого пространства (меняется число и тип особых точек, рождаются
или исчезают иные особые объекты) при сохранении интегрируемо-
сти модели [7–9].
Переход к соответствующим квантовым интегрируемым моделям
открывает возможности для более полного исследования зависимо-
сти спектра собственных значений от структурных параметров систем
с несколькими степенями свободы, а также для уточнения соответ-
ствия понятий интегрируемости в классических и квантовых систе-
мах. Анализ поведения квантовых интегрируемых моделей при учете
возмущений, разрушающих их интегрируемость, должен привести к
ответу на вопрос: что является аналогом утверждения классической
теории Колмогорова – Арнольда –Мозера [10] для квантовых систем с
несколькими степенями свободы.
Классы многопараметрических потенциалов, допускающих
разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби.
Обра-
тимся к уравнению Шредингера, определяющему спектр собственных
значений энергии
E
частицы на плоскости в потенциале
U
(
x
1
, x
2
)
:
Hψ
(
x
1
, x
2
) =
Eψ
(
x
1
, x
2
) ;
(1)
H
=
1
2
p
2
1
+
1
2
p
2
2
+
U
(
x
1
, x
2
)
, p
j
=
i
~
∂
∂x
j
, j
= 1
,
2
.
(2)
Рассмотрим задачу построения эрмитова оператора
K
, квадратич-
ного по импульсам и коммутирующего с оператором Гамильтона
H
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6