8 / 13
при всех значениях параметров
V
0
,
ν
отлично от нуля. Последнее обу-
словлено тем, что одномерная потенциальная яма конечной глубины
всегда приводит к существованию точечного спектра.
Квантовые интегрируемые системы и их обобщения.
Сдела-
ем замечание о структуре спектра собственных значений энергии для
первого класса интегрируемых потенциалов. При
C
N
>
0
спектр явля-
ется строго конечным. В этом случае штурм-лиувиллевский характер
одномерных задач (6) позволяет предсказать возможные “движения”
узлов решетки точечного спектра при изменении структурных пара-
метров интегрируемого потенциала. Семейства кривых
Λ
(
i
)
n
(
ε
)
могут
быть определены на всей
ε
-оси, а их пересечения трансверсальны. Не-
смотря на то, что на плоскости
(Λ
, ε
)
не возникает кратного спектра,
проекции различных узлов точечной решетки на ось
ε
могут при из-
менении структурных параметров потенциала приводить к рождению
и распаду кратного точечного спектра собственных значений энергии.
Сделаем замечания о возможных обобщениях рассмотренных вы-
ше интегрируемых моделей. В качестве первого примера рассмотрим
динамическую систему с тремя степенями свободы, определенную
функцией Гамильтона:
H
=
1
2
3
X
i
=1
p
2
i
+
U
(
x
1
, x
2
, x
3
)
.
Предположение
о существовании одного дополнительного интеграла вида
K
=
1
2
3
X
i,j
=1
a
ij
(
x
1
, x
2
, x
3
)
p
i
p
j
+
V
(
x
1
, x
2
, x
3
)
(11)
приводит к следующей системе уравнений для метрических коэффи-
циентов
a
ij
:
∂a
11
∂x
1
=
∂a
22
∂x
2
=
∂a
33
∂x
3
= 0
,
∂a
23
∂x
1
+
∂a
13
∂x
2
+
∂a
12
∂x
3
= 0;
2
∂a
12
∂x
1
+
∂a
11
∂x
2
= 0
,
2
∂a
13
∂x
1
+
∂a
11
∂x
3
= 0
,
2
∂a
12
∂x
2
+
∂a
22
∂x
1
= 0;
2
∂a
23
∂x
2
+
∂a
22
∂x
3
= 0
,
2
∂a
13
∂x
3
+
∂a
33
∂x
1
= 0
,
2
∂a
23
∂x
3
+
∂a
33
∂x
2
= 0
(12)
и соотношениям для пары сопряженных потенциалов
U
и
V
:
1
2
∂V
∂x
i
=
=
3
X
j
=1
a
ij
∂U
∂x
j
,
i
= 1
,
2
,
3
.
Решения системы уравнений для метрических
коэффициентов имеют вид
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6