6 / 13
точки на сфере, связанные с существованием дополнительного инте-
грала, квадратичного по обобщенным импульсам [7]. При этом со-
храняется представление интегрируемого потенциала в виде (6), но в
отличие от вида (7) функция является многочленом третьей степени.
В силу того, что рассматриваемое уравнение Шредингера допус-
кает разделение переменных
ψ
(
x
1
, x
2
) =
ψ
1
(
q
1
)
ψ
2
(
q
2
)
, нулевой уро-
вень собственной функции образован пересекающимися координатны-
ми линиями (
q
1
=
const). Такая ситуация не является случаем общего
положения и может быть разрушена малым возмущением — при пере-
ходе к потенциалу, не допускающему разделения переменных. Это мо-
жет стать основой алгоритма (например, численного) для определения
возможности разделения переменных. Такой алгоритм представляет
собой аналог метода Хенона – Хейлеса для установления интегрируе-
мости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы [11–16].
Спектр собственных значений энергии частицы в двумерной
потенциальной яме.
В качестве примера рассмотрим задачу о спектре
собственных значений энергии частицы в двумерной потенциальной
яме конечной глубины. Соответствующий примитивный потенциал
U
(
x
1
, x
2
) =
−
U
0
ac
−
b
2
=
−
U
0
q
1
q
2
=
=
−
U
0
2
λ
(
A
0
X
2
1
+ 2
B
0
X
1
X
2
+
C
0
X
2
2
) + (
A
0
C
0
−
B
2
0
)
определяет потенциальную яму конечной глубины при дополнитель-
ном условии регулярности
ac
−
b
2
>
0
. Это условие выполняется,
например, в случае
λ >
0
,
A
0
>
0
,
C
0
>
0
,
B
0
= 0
.
Используя унифор-
мизующую замену переменных
q
1
→
ϕ
=
√
2
λ
q
1
Z
C
0
dq
p
−
m
(
q
)
, q
2
→
ρ
=
√
2
λ
q
2
Z
A
0
dq
p
m
(
q
)
,
C
0
< q
1
< A
0
, A
0
< q
2
<
∞
,
которая с учетом (7) приводит к выражениям
q
1
=
1
2
(
A
0
+
C
0
) (1 +
ν
cos 2
ϕ
)
, q
2
=
1
2
(
A
0
+
C
0
) (1 +
ν
ch 2
ρ
) ;
0
< ν
= (
A
0
−
C
0
) / (
A
0
+
C
0
)
<
1
,
находим, что уравнения (7) принимают вид
−
d
2
ψ
1
dϕ
2
−
V
0
1 +
ν
cos 2
ϕ
ψ
1
+
ε
(1 +
ν
cos 2
ϕ
)
ψ
1
= Λ
λ
ψ
1
, ϕ
∈
[0
,
2
π
] ;
−
d
2
ψ
2
dρ
2
+
V
0
1 +
ν
ch 2
ρ
ψ
2
−
ε
(1 +
ν
ch 2
ρ
)
ψ
2
=
−
Λ
λ
ψ
2
, ρ
∈
[0
,
∞
]
.
(8)
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6