2 / 17
ones. Tables of probability distributions for the proposed accurate statistics are
calculated considering a wide range of possible values of the sample amount. The
authors show that the statistics asymptotic distribution converges to the Kolmogorov –
Smirnov standard distribution, provided the tested hypothesis is valid. The statistical
characteristics for estimating the Cox model parameter are evaluated, in case the
hypothesis is valid, if tested with the help of the Monte-Carlo method. The value
that minimizes the proposed test statistics is considered estimation. The estimation
consistency is shown.
Keywords
:
nonparametric statistics, Cox hypothesis, Kolmogorov – Smirnov criterion,
Kaplan –Meier estimator.
Введение.
При испытаниях технических систем часто возникает
задача проверки степенной гипотезы
H
0
:
P
1
(
t
) = (
P
2
(
t
))
k
,
(1)
где
P
i
(
t
) = 1
−
F
i
(
t
)
,
i
= 1
,
2
— функции надежности для первой и вто-
рой независимых выборок. Выполнение этой гипотезы эквивалентно
пропорциональности интенсивностей отказов. Впервые модель (1) бы-
ла рассмотрена Д. Коксом [1]. В настоящей работе исследована задача
проверки гипотезы (1) в случае, когда обе выборки являются прогрес-
сивно цензурированными. Эта работа представляет собой обобщение
работы [2], в которой была предложена статистика для проверки ги-
потезы однородности, что эквивалентно случаю
k
= 1
.
Постановка задачи.
Пусть имеется
n
1
систем, состоящих из
m
1
последовательно соединенных элементов, которые работают в режиме
ε
1
, и
n
2
систем, состоящих из
m
2
последовательно соединенных эле-
ментов, функционирующих в режиме
ε
2
. При испытаниях последова-
тельных систем в случае отказа одного из изделий в системе, остав-
шиеся
(
m
j
−
1)
изделий цензурируются (
j
= 1
,
2
). Таким образом, по
результатам испытаний двух групп систем имеются две прогрессив-
но цензурированные выборки
Θ
1
= (
θ
1
1
, . . . , θ
n
1
1
)
,
Θ
2
= (
θ
1
2
, . . . , θ
n
2
2
)
,
где
θ
i
1
= min
ξ
i
1
, ξ
i
2
, . . . , ξ
i
m
1
, i
= 1
, n
1
,
θ
j
2
= min
ξ
j
1
, ξ
j
2
, . . . , ξ
j
m
2
,
j
= 1
, n
2
— минимумы наработок до отказа элементов систем, работа-
ющих в режимах
ε
1
и
ε
2
[3, 4].
Требуется проверить гипотезу о том, что интенсивности от-
казов
λ
1
(
t
)
, λ
2
(
t
)
элементов для двух режимов пропорциональны
λ
1
(
t
) =
kλ
2
(
t
)
, где
k
≥
1
— известное фиксированное число. Обо-
значим
P
1
(
t
)
функцией надежности наработок до отказа элементов
в режиме
ε
1
, а
P
2
(
t
)
функцией надежности наработок до отказа в
режиме
ε
2
. Тогда проверяемая гипотеза имеет вид, аналогичный виду
модели (1):
H
0
:
P
1
(
t
) = (
P
2
(
t
))
k
,
k
≥
1
.
В настоящей работе для проверки гипотезы (1) предложен крите-
рий типа Колмогорова – Смирнова, основанный на сравнении оценок
Каплана –Мейера
_
P
θ
1
(
t
)
,
_
P
θ
2
(
t
)
функций надежности
P
1
(
t
)
,
P
2
(
t
)
по
прогрессивно цензурированным выборкам
Θ
1
и
Θ
2
[5, 6]:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
69