Previous Page  9 / 22 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 9 / 22 Next Page
Page Background

С учетом формул (33) выражения (32) принимают вид

σ

(1)

IJ

=

ξC

(0)

IJKL

η

KL

+ ˜

N

(0)

IJKLM

ε

(0)

KL,M

+

ω

2

G

IJi

u

(0)

i

;

˜

N

(0)

IJKLM

=

N

(0)

IJKLM

+

Φ

IJKLM

.

(36)

Вычислим перемещения

u

(2)

i

второго приближения, используя

третью формулу в (7) и пятую формулу в (5):

u

(2)

I/

3

=

u

(1)

3

,I

+

+ 2

C

1

I

3

i

3

(

σ

(1)

i

3

C

i

3

KL

ε

(1)

KL

)

. После интегрирования этого выражения

с учетом условий

< u

(2)

i

>

= 0

, находим перемещения

u

(2)

i

u

(2)

I

=

<

ξ

Z

0

,

5

u

(1)

3

,I

dξ >

ξ

Z

0

,

5

u

(1)

3

,I

2

<

ξ

Z

0

,

5

C

1

I

3

i

3

(

σ

(1)

i

3

C

i

3

KL

ε

(1)

KL

)

dξ >

+

+ 2

ξ

Z

0

,

5

C

1

I

3

i

3

(

σ

(1)

i

3

C

i

3

KL

ε

(1)

KL

)

dξ.

Осредненные уравнения установившихся колебаний много-

слойных пластин.

Подставляя выражения (24), (25) в асимптотиче-

ское разложение (14) уравнений равновесия, получаем

< σ

(0)

iJ,J

>

+

< ρ > ω

2

u

(0)

i

+

κ

(

< σ

(1)

iJ,J

>

+

ω

2

< ρu

(1)

i

>

)+

+

κ

2

(

< σ

(2)

iJ,J

>

+

ω

2

< ρu

(2)

i

>

Δ

i

3

) +

. . .

= 0

.

(37)

Умножим уравнения системы (8) на

ξκ

и проинтегрируем их по

толщине, далее запишем следующее вспомогательное уравнение:

κ

(

< ξσ

(0)

IJ,J

>

+

ω

2

< ρu

(1)

I

ξ >

< σ

(1)

I

3

>

)+

+

κ

2

(

< ξσ

(1)

IJ,J

>

+

ω

2

< ρu

(2)

I

ξ >

< σ

(2)

I

3

>

) +

. . .

= 0

,

(38)

В (38) учтено, что

< ξσ

(1)

i

3

/

3

>

=

< σ

(1)

i

3

>

,

< ξσ

(2)

i

3

/

3

>

=

< σ

(2)

i

3

>

в силу граничных условий

Σ

3

±

:

σ

(0)

i

3

= 0

, σ

(1)

i

3

= 0

.

Введем обозначения для усилий

T

IJ

, моментов

M

IJ

и перерезыва-

ющих сил

Q

I

в пластине

T

IJ

=

< σ

(0)

IJ

>

+

κ < σ

(1)

IJ

>

+

. . .

;

M

IJ

=

κ < ξσ

(0)

IJ

>

+

κ

2

< ξσ

(1)

IJ

>

+

. . .

;

Q

I

=

κ < σ

(1)

I

3

>

+

κ

2

< σ

(2)

I

3

>

+

. . . ,

(39)

а также обозначения для обобщенных перемещений пластины

ˉ

ρU

i

=

< ρ > u

(0)

i

+

κ < ρu

(1)

i

>

+

κ

2

< ρu

(2)

i

>

+

. . .

;

ˉ

ρΓ

I

=

κ < ρu

(1)

I

ξ >

+

κ

2

< ρu

(2)

I

ξ >

+

. . . ,

где

ˉ

ρ

=

< ρ >

.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

107