Асимптотическая теория гармонических колебаний многослойных тонких упругих пластин

thickness of a plate is used. An asymptotic solution to the problem of eigen vibrations

of a plate is found. Recurrent sequences of local vibration problems are formulated,

and their solutions are found in the explicit form. It is shown that the averaged

problem of the developed plate vibrations theory proves to be similar to the

Kirchhoff – Love plate vibrations theory. This method allows us to calculate all 6

stress tenor components including both transverse normal stresses and stresses of

an interlayer shift in case of vibrations of thin elastic plates. The solution to the

problem of flexural eigen vibrations of a multilayer plate is illustrated by an example.

The authors compare computations performed by the developed method and by the

finite-element solution of the three-dimensional problem of eigen vibrations on the

basis of ANSYS complex. It is shown that the asymptotic theory allows finding eigen

frequencies quite accurately and calculating all 6 stress tensor components in a plate

with a pinpoint accuracy.

Keywords

multilayer thin plates, asymptotic plates theory, asymptotic theory for

harmonic plate vibrations, asymptotic averaging method, asymptotic expansions, local

problems, finite elements method.

Введение.

Различные подходы к построению теории тонких пла-

стин, основанных только на анализе трехмерных уравнений теории

упругости были предложены в работах [1–7]. Асимптотическая тео-

рия многослойных тонких упругих пластин, которая в отличие от по-

давляющего большинства существующих теорий многослойных пла-

стин не содержит никаких допущений относительно характера рас-

пределения перемещений и напряжений по толщине, была изложена

в работах [7–9]. В указанной теории сделаны только ограничения, что

пластина является тонкой и что давление на внешних поверхностях

пластины мало. В результате были получены осредненные уравнения

теории пластин, совпадающие с уравнениями теории пластин Кирхго-

фа – Лява, а также распределения всех шести компонент тензора напря-

жений по толщине. Проведенные в работе [10] сравнения полученных

по этому методу формул для перемещений и напряжений с результа-

тами численного трехмерного расчета пластины при изгибе на основе

конечно-элементного программного комплекса ANSYS показали сле-

дующее: асимптотическая теория позволяет получать очень точные

решения, которые достижимы для конечно-элементных теорий только

при использовании очень мелких сеток и мощных вычислительных

средств. Асимптотическая теория для вязкоупругих тонких пластин

была развита в работах [11–15], а для расчета термоползучести пла-

стин — в работе [16]. В работе [9] изложена асимптотическая теория

упругих пластин с двумерной микроструктурой — сотовыми, сетчаты-

ми конструкциями. Цель настоящей работы — дальнейшее развитие

асимптотической теории для расчета напряженно-деформированного

состояния многослойных упругих пластин при гармонических коле-

баниях.

Основные допущения асимптотической теории тонких пла-

стин.

Рассмотрим многослойную пластину постоянной толщины, вве-

дем малый параметр

h/L

как отношение общей толщины

100

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6