Previous Page  4 / 22 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 22 Next Page
Page Background

Асимптотические разложения для многослойной пластины.

Задача (2) содержит локальную координату

ξ

, а также малый па-

раметр

κ

в граничных условиях (это коэффициент при давлении),

поэтому ее решение будем искать в виде асимптотических разложе-

ний по параметру

κ

в виде функций, зависящих от глобальных и

локальной координат:

u

k

=

u

(0)

k

(

x

I

) +

κu

(1)

k

(

x

I

, ξ

) +

κ

2

u

(2)

k

(

x

I

, ξ

) +

κ

3

u

(3)

k

(

x

I

, ξ

) +

. . .

(3)

Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами

I, J, K, L

” принимают значения 1, 2, а индексы, обозначенные строч-

ными буквами “

i, j, k, l

”, — значения 1, 2, 3.

Подставим разложения (3) в соотношения Коши в системе (2), при

этом используем правила дифференцирования функций локальных ко-

ординат [7] (

∂/∂

˜

x

j

∂/∂x

j

+ (1

)

δ

j

3

∂/∂ξ

), тогда получим асимпто-

тические разложения для деформаций

ε

ij

=

ε

(0)

ij

+

κε

(1)

ij

+

κ

2

ε

(2)

ij

+

. . . ,

(4)

где

ε

(0)

IJ

=

1

2

(

u

(0)

I,J

+

u

(0)

J,I

)

, ε

(0)

I

3

=

1

2

(

u

(0)

3

,I

+

u

(1)

I/

3

)

, ε

(0)

33

=

u

(1)

3

/

3

;

ε

(1)

IJ

=

1

2

(

u

(1)

I,J

+

u

(1)

J,I

)

, ε

(1)

I

3

=

1

2

(

u

(1)

3

,I

+

u

(2)

I/

3

)

, ε

(1)

33

=

u

(2)

3

/

3

;

ε

(2)

IJ

=

1

2

(

u

(2)

I,J

+

u

(2)

J,I

)

, ε

(2)

I

3

=

1

2

(

u

(2)

3

,I

+

u

(3)

I/

3

)

, ε

(2)

33

=

u

(3)

3

/

3

и т.д.

(5)

Здесь

u

(1)

i/

3

=

∂u

(1)

i

/∂ξ

,

u

(1)

i,j

=

∂u

(1)

i

/∂x

j

— производные по локальной

и глобальным координатам.

Подставляя выражение (4) в закон Гука в системе (2), получаем

асимптотическое разложения для напряжений

σ

ij

=

σ

(0)

ij

+

κσ

(1)

ij

+

κ

2

σ

(2)

ij

+

. . . ,

(6)

где

σ

(0)

IJ

=

C

IJKL

ε

(0)

KL

+

C

IJk

3

ε

(0)

k

3

, σ

(0)

i

3

=

C

i

3

KL

ε

(0)

KL

+

C

i

3

k

3

ε

(0)

k

3

;

σ

(1)

IJ

=

C

IJKL

ε

(1)

KL

+

C

IJk

3

ε

(1)

k

3

, σ

(1)

i

3

=

C

i

3

KL

ε

(1)

KL

+

C

i

3

k

3

ε

(1)

k

3

;

σ

(2)

IJ

=

C

IJKL

ε

(2)

KL

+

C

IJk

3

ε

(2)

k

3

, σ

(2)

i

3

=

C

i

3

KL

ε

(2)

KL

+

C

i

3

k

3

ε

(2)

k

3

и т.д.

(7)

Формулировка локальных задач.

Подставляя разложения (3), (4)

и (6) в уравнения установившихся колебаний и граничные условия

102

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6