Previous Page  3 / 22 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 22 Next Page
Page Background

пластины

h

к характерному размеру всей пластины

L

(например, к

ее максимальной длине), а также глобальные (

x

k

) и локальную (

ξ

)

координаты

x

k

= ˜

x

k

/L, ξ

=

x

3

/κ, k

= 1

,

2

,

3

,

(1)

где

˜

x

k

— обычные декартовы координаты, ориентированные так, что

ось

O

˜

x

3

направлена по нормали к внешней и внутренней плоско-

стям пластины, а оси

O

˜

x

1

,

O

˜

x

2

принадлежат срединной поверхности

пластины. Полагаем, что существует два масштаба изменения переме-

щений

u

k

: один по направлениям

O

˜

x

1

,

O

˜

x

2

, а второй — по направле-

нию

O

˜

x

3

. Координаты

x

3

и

ξ

, как обычно, в методе асимптотического

осреднения рассматриваются как независимые переменные. Коорди-

ната по толщине пластины изменяется в диапазоне

0

,

5

< ξ

3

<

0

,

5

.

Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории

упругости при установившихся колебаниях [17]

j

σ

ij

+

ρω

2

u

i

= 0;

ε

ij

=

1

2

(

j

u

i

+

i

u

j

) ;

σ

ij

=

C

ijkl

ε

kl

;

Σ

3

±

:

σ

i

3

=

κ

3

p

±

δ

i

3

,

Σ

T

:

u

i

=

u

ei

,

Σ

S

: [

σ

i

3

] = 0

,

[

u

3

] = 0

,

(2)

состоящую из уравнений установившихся колебаний, соотношений

Коши, обобщенного закона Гука, граничных условий на внешних по-

верхностях пластины оболочки — на внешней и внутренней поверхно-

стях

Σ

3

±

(их уравнение

˜

x

3

=

±

h/

2

) и на торцевой поверхности

Σ

T

, а

также граничных условий на поверхности контакта

Σ

S

слоев пласти-

ны (

[

u

i

]

— скачок функций), которые могут и отсутствовать, например,

для однослойной пластины.

Принимаем основное допущение, состоящее в том, что давление

˜

p

±

на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок

малости

O

(

κ

3

)

(

˜

p

±

=

κ

3

p

±

). Это допущение, как правило, соответ-

ствует реальным условиям нагружения тонких пластин. В уравнениях

(2) введены следующие обозначения:

j

=

∂/∂

˜

x

j

— оператор диффе-

ренцирования по декартовым координатам;

σ

ij

— компоненты тензора

напряжений;

ρ

(

ξ

)

— плотность слоев пластины;

ω

— частота вынужден-

ных колебаний;

u

j

— компоненты вектора перемещений;

ε

ij

— компо-

ненты тензора деформаций;

C

ijkl

(

ξ

)

— компоненты тензора модулей

упругости, который полагается зависящим от координаты

ξ

3

=

ξ

, так

как тензор различен для разных слоев пластины. Специального допу-

щения об анизотропии материалов слоев пока не делаем, т.е. тензоры

модулей упругости имеют по 21 независимой компоненте [17, 18].

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

101