МАТЕМАТИКА
УДК 517.938+517.977
А. Н. К а н а т н и к о в
УПРАВЛЯЕМО ИНВАРИАНТНЫЕ КОМПАКТЫ
В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ С УПРАВЛЕНИЕМ
Для дискретных систем с управлением предложены методы лока-
лизации управляемо инвариантных компактов. Описаны свойства
соответствующих локализирующих множеств. Построены локали-
зующие множества для управляемо инвариантных компактов си-
стемы Хенона с управлением.
E-mail:
Ключевые слова
:
дискретная система, управление, управляемо инвари-
антное множество, локализующее множество.
Рассмотрим дискретную систему с управлением вида
x
n
+1
=
F
(
x
n
, u
n
)
,
(1)
где
F
:
X
×
U
→
X
— отображение, непрерывное на
X
при каждом
фиксированном
u
∈
U
. Для таких систем поставим задачу локализации
положительно и отрицательно управляемо инвариантных множеств
с дополнительным условием компактности. Под локализацией таких
множеств мы понимаем построение множеств в фазовом пространстве
X
системы, содержащих все указанные множества.
В работе функциональный метод локализации, ранее разработан-
ный для непрерывных и дискретных динамических систем [1–5], пере-
носится на дискретные системы с управлением. Установлены свойства
локализирующих множеств. Построены локализующие множества для
управляемо инвариантных компактов системы Хенона с управлением.
Локализирующие множества.
Множество
M
в фазовом простран-
стве
X
системы (1) называется положительно управляемо инвариант-
ным, если существует такая обратная связь
h
:
X
→
U
, что для лю-
бой точки
x
0
∈
M
положительная полутраектория замкнутой системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
, h
(
x
n
))
, начинающаяся в точке
x
0
, целиком содержится
в
M
[6, 7].
Дискретный характер времени позволяет понятие положительно
управляемо инвариантного множества свести к некоторому одношаго-
вому условию.
Лемма 1.
Множество
M
в фазовом пространстве
X
системы
(1)
положительно управляемо инвариантно тогда и только тогда
,
когда
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
3
