Доказательство.
Пусть
K
— произвольный положительно упра-
вляемо инвариантный компакт системы (1). Тогда верно включе-
ние
K
⊂
F
−
1
∪
(
K
)
. Выберем точку
x
0
∈
F
−
1
∪
(
K
)
. Тогда множество
K
=
{
x
0
} ∪
K
является компактом. В то же время
K
⊂
F
−
1
∪
(
K
)
⊂
⊂
F
−
1
∪
(
K
)
, так что
K
— положительно управляемо инвариантный
компакт системы (1). Следовательно,
K
⊂
G
. Тем самым доказа-
но, что любая точка
x
0
∈
F
−
1
∪
(
K
)
принадлежит множеству
G
, т.е.
F
−
1
∪
(
K
)
⊂
G
. Это включение означает, что для любого управления
u
∈
U
выполняется включение
F
−
1
u
(
K
)
⊂
G
, что эквивалентно усло-
вию
K
⊂
ˆ
F
u
(
G
)
. Итак, для любого
u
∈
U
имеем
K
⊂
ˆ
F
u
(
G
)
. Это
значит, что
K
⊂
u
∈
U
ˆ
F
u
(
G
) = ˆ
F
∩
(
G
)
. Свойство доказано.
Свойство 6.
Любое отрицательно управляемо инвариантное мно-
жество системы
(1)
, содержащееся в множестве
G
⊂
X
, содержит-
ся и в множестве
ˆ
F
∪
(
G
)
. В частности
,
если множество
G
содержит
все отрицательно управляемо инвариантные компакты системы
(1)
,
то и множество
ˆ
F
∪
(
G
)
содержит все отрицательно управляемо ин-
вариантные компакты системы.
Доказательство.
Пусть
K
⊂
G
— отрицательно управляемо инва-
риантное множество. Тогда, согласно (4), имеем
K
⊂
ˆ
F
∪
(
K
)
⊂
ˆ
F
∪
(
G
)
,
поскольку при
G
1
⊂
G
2
для любого
u
∈
U
имеем
ˆ
F
u
(
G
1
)
⊂
ˆ
F
u
(
G
2
)
и,
следовательно,
ˆ
F
∪
(
G
1
)
⊂
ˆ
F
∪
(
G
2
)
. Свойство доказано.
Свойство 7.
Пустьдискретная система
(1)
определяется отобра-
жением
F
, инъективным при любом фиксированном значении
u
∈
U
.
Тогда если множество
G
содержит все отрицательно управляемо ин-
вариантные компакты рассматриваемой системы, то и множество
F
−
1
∩
(
G
) =
u
∈
U
F
−
1
u
(
G
)
содержит все отрицательно управляемо инвариантные компакты.
Доказательство.
Условие инъективности отображения
F
при
фиксированном
u
, в частности, означает, что для любого множества
A
верно включение
F
(
A, u
)
⊂
ˆ
F
u
(
A
)
. Отсюда следует, что
F
(
A
×
×
U
)
⊂
ˆ
F
∪
(
A
)
.
Пусть
K
— отрицательно управляемо инвариантный компакт си-
стемы (1). Следовательно, верно включение
K
⊂
ˆ
F
∪
(
K
)
. Выберем
произвольную точку
x
0
∈
F
(
K
×
U
)
. Тогда множество
K
=
K
∪ {
x
0
}
компактно. Кроме того, поскольку
K
⊂
ˆ
F
∪
(
K
)
⊂
ˆ
F
∪
(
K
)
, компакт
K
является отрицательно управляемо инвариантным множеством. Сле-
довательно,
K
⊂
G
, откуда
x
0
∈
G
. Итак, доказано, что множество
F
(
K
×
U
)
целиком содержится в множестве
G
. Это заключение можно
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
11
