Доказательство.
Пусть
K
— отрицательно управляемо инвариант-
ный компакт, содержащийся в
Q
. Непрерывная функция
ϕ
:
X
→
R
до-
стигает на
K
своего наибольшего значения в точке
x
∗
∈
K
. Поскольку
K
— отрицательно управляемо инвариантное множество, существует
такое управление
u
∗
, что
F
−
1
u
∗
(
x
∗
)
⊂
K
. Если
F
−
1
u
∗
(
x
∗
) =
∅
, то точка
x
∗
попадает в множество
ˇΣ
+
ϕ
. Если же
F
−
1
u
∗
(
x
∗
) =
∅
, то для любой
точки
z
∈
F
−
1
u
∗
(
x
∗
)
имеем
z
∈
K
, так что выполняется неравенство
ϕ
(
z
)
≤
ϕ
(
x
∗
)
. Это означает, что
sup
z
∈
F
−
1
u
∗
(
x
∗
)
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(
x
∗
)
≤
0
.
Следовательно,
x
∗
∈
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
и для любой точки
x
∈
K
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
∗
)
≤
sup
x
∈
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
l
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается, что
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
(
x
∗
)
≥
ϕ
l
inf
(
Q
)
,
x
∈
K
.
Таким образом, для каждой точки
x
∈
K
верно двойное неравен-
ство
ϕ
l
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
(
Q
)
, означающее, что
x
∈
Ω
l
ϕ
(
Q
)
. Тем
самым доказано, что произвольно выбранный отрицательно управля-
емо инвариантный компакт
K
целиком содержится в
Ω
l
ϕ
(
Q
)
. Теорема
доказана.
Для системы (1) множество
M
⊂
X
назовем управляемо инвари-
антным, если оно одновременно и положительно управляемо инвари-
антно, и отрицательно управляемо инвариантно.
Для произвольной непрерывной функции
ϕ
:
X
→
R
положим
ϕ
inf
(
Q
) = inf
x
∈
ˇΣ
−
ϕ
∩
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
sup
(
Q
) = sup
x
∈
ˇΣ
+
ϕ
∩
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Теорема 3.
Любой управляемо инвариантный компакт системы
(1)
,
содержащийся в множестве
Q
⊂
X,
содержится в множестве
Ω
ϕ
(
Q
) =
{
x
∈
Q
:
ϕ
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
(
Q
)
}
.
Доказательство.
Пусть
K
— управляемо инвариантный компакт.
Функция
ϕ
достигает на этом компакте наибольшего значения в не-
которой точке
x
∗
∈
K
. Согласно условию положительной инвариант-
ности
K
, существует такое управление
u
∗
1
∈
U
, что
F
(
x
∗
, u
∗
1
)
∈
K
,
откуда
ϕ
(
F
(
x
∗
, u
∗
1
))
≤
ϕ
(
x
∗
)
. Следовательно,
x
∗
∈
Σ
−
ϕ
. Кроме того,
согласно условию отрицательной инвариантности
K
, существует та-
кое управление
u
∗
2
∈
U
, что
F
−
1
u
∗
2
(
x
∗
)
⊂
K
. Отсюда заключаем, что
ϕ
(
z
)
≤
ϕ
(
x
∗
)
при
z
∈
F
−
1
u
∗
2
(
x
∗
)
и что
x
∗
∈
ˇΣ
+
ϕ
. Итак,
x
∗
∈
Σ
−
ϕ
∩
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
,
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
