поэтому для любой точки
x
∈
K
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
∗
)
≤
sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается неравенство
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
inf
(
Q
)
,
x
∈
K
. Оба
неравенства означают, что
K
⊂
Ω
ϕ
(
Q
)
. Теорема доказана.
Свойства локализирующих множеств.
Свойства локализирую-
щих множеств для управляемо инвариантных компактных множеств
дискретных систем с управлением во многом схожи со свойствами ло-
кализирующих множеств для непрерывных и дискретных систем без
управления [2–5]. Установим основные свойства.
Свойство 1.
Пересечение любого семейства локализирующих мно-
жеств для (положительно
,
отрицательно) управляемо инвариантных
компактов системы
(1)
является локализирующим множеством.
Свойство 2.
Пустьфункция
ϕ
непрерывна на
X
и
ψ
(
x
) =
h
(
ϕ
(
x
))
,
x
∈
X,
где
h
:
R
→
R
— строго монотонная функция. Тогда для
любого множества
Q
⊂
X
имеем
Ω
r
ϕ
(
Q
) = Ω
r
ψ
(
Q
)
,
Ω
l
ϕ
(
Q
) = Ω
l
ψ
(
Q
)
,
Ω
ϕ
(
Q
) = Ω
ψ
(
Q
)
. В частности
,
это верно
,
если
h
(
t
) =
at
+
b
,
a
= 0
.
Доказательство.
Доказательства всех трех случаев утверждения
различаются незначительно. Поэтому ограничимся доказательством в
случае положительно управляемо инвариантных компактов.
Если функция
h
— возрастающая, то неравенство
ψ
(
x
1
)
≤
ψ
(
x
2
)
эквивалентно неравенству
ϕ
(
x
1
)
≤
ϕ
(
x
2
)
. Следовательно, эквивалент-
ны неравенства
inf
u
∈
U
ψ
(
F
(
x, u
))
≤
ψ
(
x
)
и
inf
u
∈
U
ϕ
(
F
(
x, u
))
≤
ϕ
(
x
)
.
А это означает, что множества
Σ
−
ϕ
и
Σ
−
ψ
совпадают. Поэтому
ψ
r
sup
(
Q
) = sup
x
∈
Σ
−
ψ
∩
Q
ψ
(
x
) = sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
Q
h
(
ϕ
(
x
)) =
=
h
sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
h ϕ
r
sup
(
Q
)
.
Аналогично устанавливается равенство
ψ
r
inf
(
Q
) =
h ϕ
r
inf
(
Q
)
. Таким
образом, неравенства
ψ
r
inf
(
Q
)
≤
ψ
(
x
)
≤
ψ
r
sup
(
Q
)
эквивалентны нера-
венствам
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
. Тем самым доказано, что в случае
возрастающей функции
h
множества
Ω
r
ψ
(
Q
)
и
Ω
r
ϕ
(
Q
)
совпадают.
Рассуждения в случае убывающей функции аналогичны. В этом
случае
Σ
−
ψ
= Σ
+
ϕ
и
Σ
+
ψ
= Σ
−
ϕ
. При этом
ψ
r
sup
(
Q
) =
h ϕ
r
inf
(
Q
)
, ψ
r
inf
(
Q
) =
h ϕ
r
sup
(
Q
)
.
В результате неравенства
ψ
r
inf
(
Q
)
≤
ψ
(
x
)
≤
ψ
r
sup
(
Q
)
можно переписать
в виде
h ϕ
r
sup
(
Q
)
≤
h
(
ϕ
(
x
))
≤
h ϕ
r
inf
(
Q
)
, что эквивалентно неравен-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
9
