представить как условие, что
F
(
K, u
)
⊂
G
при любом
u
∈
U
. Другими
словами,
K
⊂
F
−
1
u
(
G
)
при любом
u
∈
U
. Следовательно,
K
⊂
F
−
1
∩
(
G
)
.
Свойство доказано.
Свойство 8.
Любое управляемо инвариантное множество, содер-
жащееся в множестве
G
⊂
X
, содержится и в множествах
F
−
1
∪
(
G
)
и
ˆ
F
∪
(
G
)
. В частности, если множество
G
содержит все управляемо
инвариантные компакты системы
(1)
, то множества
F
−
1
∪
(
G
)
,
ˆ
F
∪
(
G
)
и
F
−
1
∪
(
G
)
∩
ˆ
F
∪
(
G
)
также содержат все управляемо инвариантные
компакты системы.
Доказательство.
Если управляемо инвариантное множество
K
⊂
X
содержится в множестве
G
, то оно, как положительно упра-
вляемо инвариантное, содержится в множестве
F
−
1
∪
(
G
)
(свойство 4),
а как отрицательно управляемо инвариантное — в множестве
ˆ
F
∪
(
G
)
(свойство 6). В частности, множество
K
содержится в пересечении
этих множеств
F
−
1
∪
(
G
)
∩
ˆ
F
∪
(
G
)
. Свойство доказано.
Система Хенона с управлением.
Рассмотрим систему
x
n
+1
=
by
n
−
x
2
n
+
u,
y
n
+1
=
x
n
,
(5)
где
b >
0
— известный параметр,
u
∈
[
a
∗
, a
∗
]
— управление.
Система (5) задается отображением
F
(
x, y, u
) =
by
−
x
2
+
u
x
, X
=
R
2
, U
= [
a
∗
, a
∗
]
.
Для системы (5) рассмотрим задачу локализации.
Локализация положительно инвариантных компактов.
В качестве
локализирующей рассмотрим линейную функцию
ϕ
(
x, y
) =
Dx
+
Ey
.
Тогда
ϕ
(
F
(
x, y, u
)) =
D
(
by
−
x
2
+
u
)+
Ex
. Множество
Σ
−
ϕ
описывается
неравенством
inf
u
∈
[
u
∗
, u
∗
]
D
(
by
−
x
2
+
u
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
≤
0
,
а множество
Σ
+
ϕ
— неравенством
sup
u
∈
[
u
∗
, u
∗
]
D
(
by
−
x
2
+
u
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
≥
0
.
Обозначим
u
∗
= sup
u
∈
[
a
∗
, a
∗
]
Du, u
∗
= inf
u
∈
[
a
∗
, a
∗
]
Du.
Тогда
Σ
−
ϕ
=
{
(
x
;
y
) :
D
(
by
−
x
2
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
+
u
∗
≤
0
}
,
Σ
+
ϕ
=
{
(
x
;
y
) :
D
(
by
−
x
2
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
+
u
∗
≥
0
}
.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
