M
⊂
u
∈
U
F
−
1
u
(
M
) =
F
−
1
∪
(
M
)
,
(2)
где
F
−
1
u
(
M
) =
{
x
∈
X
:
F
(
x, u
)
∈
M
}
.
З а м е ч а н и е 1. Лемма 1 — аналогутверждения, доказанного
Бертсекасом [8].
Ограничимся рассмотрением положительно управляемо инвари-
антных множеств с дополнительным свойством компактности — по-
ложительно управляемо инвариантных компактов. Поставим задачу
оценки положения положительно управляемо инвариантных компак-
тов систем с управлением, понимая под этим построение локализиру-
ющих множеств, т.е. таких множеств в фазовом пространстве системы,
которые включают в себя все положительно управляемо инвариантные
компакты [2–4].
Рассмотрим произвольную непрерывную функцию
ϕ
:
X
→
R
.
Введем множества
Σ
+
ϕ
=
x
∈
X
: sup
u
∈
U
ϕ
(
F
(
x, u
))
−
ϕ
(
x
)
≥
0
,
Σ
−
ϕ
=
x
∈
X
: inf
u
∈
U
ϕ
(
F
(
x, u
))
−
ϕ
(
x
)
≤
0
.
Для множества
Q
⊂
X
положим
ϕ
r
inf
(
Q
) = inf
x
∈
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
,
ϕ
r
sup
(
Q
) = sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Теорема 1.
Любой положительно управляемо инвариантный ком-
пакт системы
(1)
,
содержащийся в
Q
⊂
X,
содержится в множестве
Ω
r
ϕ
(
Q
) =
{
x
∈
Q
:
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
}
.
Доказательство.
Пусть
K
— положительно управляемо инвари-
антный компакт, содержащийся в
Q
. Функция
ϕ
достигает на этом ком-
пакте наибольшего значения в некоторой точке
x
∗
∈
K
. Согласно усло-
вию положительной инвариантности
K
, существует такое управление
u
∗
∈
U
, что
F
(
x
∗
, u
∗
)
∈
K
. Отсюда вытекает, что
ϕ
(
F
(
x
∗
, u
∗
))
≤
ϕ
(
x
∗
)
.
Следовательно,
x
∗
∈
Σ
−
ϕ
и для любой точки
x
∈
K
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
∗
)
≤
sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
r
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается неравенство
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
r
inf
(
Q
)
,
x
∈
K
. Оба
неравенства означают, что
K
⊂
Ω
r
ϕ
(
Q
)
. Теорема доказана.
Понятие отрицательно управляемо инвариантного множества не
так очевидно (с точки зрения задач теории управления), как понятие
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
