Условие 2, переформулированное для обратной системы (3), зву-
чит так: любой точке
x
0
∈
M
можно поставить в соответствие та-
кую последовательность управлений
u
n
,
n
= 1
,
2
, . . .
, что последова-
тельность точек
x
n
, определяемая соотношениями
x
n
=
H
(
x
n
−
1
, u
n
)
,
n
= 1
,
2
, . . .
(положительная полутраектория обратной системы, начи-
нающаяся в
x
0
), целиком содержится в
M
. Из этого условия сразу сле-
дует, что при
u
=
u
1
имеем
x
1
=
H
(
x
0
, u
)
∈
M
, откуда
x
0
∈
F
−
1
u
(
M
)
.
Следовательно,
M
⊂
F
−
1
∪
(
M
)
, т.е. множество
M
является положи-
тельно управляемо инвариантным для обратной системы.
Наоборот, любое положительно управляемо инвариантное множе-
ство обратной системы удовлетворяет условию 2. Действительно, для
произвольно выбранной точки
x
0
∈
M
существует управление
u
0
,
при котором
x
1
=
H
(
x
0
, u
0
)
∈
M
. Для точки
x
1
существует управле-
ние
u
1
, при котором
x
2
=
H
(
x
1
, u
1
)
∈
M
. Продолжая так и далее,
получаем последовательность управлений
u
n
, которой соответствует
положительная полутраектория обратной системы, целиком лежащая
в
M
. Остается отметить, соотношения
x
k
+1
=
H
(
x
k
, u
k
)
эквивалент-
ны соотношениям
x
k
=
F
(
x
k
+1
, u
k
)
. Полагая
˜
x
−
n
=
x
n
,
˜
u
−
n
=
u
n
−
1
,
n
= 1
,
2
, . . .
, заключаем, что последовательности управлений
˜
u
−
n
со-
ответствует отрицательная полутраектория
˜
x
−
n
прямой системы, за-
канчивающаяся в точке
x
0
и целиком содержащаяся в множестве
M
.
З а м е ч а н и е 2. В случае обратимой системы (1) условие суще-
ствования для множества
M
⊂
X
обратной связи, при которой любая
отрицательная полутраектория замкнутой системы, заканчивающаяся
в
x
0
, целиком содержится в
M
, оказывается не эквивалентным усло-
вию положительной управляемой инвариантности
M
для обратной
системы (3). Действительно, указанная обратная связь может быть
устроена так, что замкнутая система
x
n
+1
=
F
(
x
n
, u
(
x
n
))
не будет
обратимой. В этом случае замкнутая система будет иметь несколько
отрицательных полутраекторий, заканчивающихся в точке
x
0
, и уже в
силу этого обстоятельства указанное условие не эквивалентно усло-
вию положительной управляемой инвариантности
M
для обратной
системы. Таким образом, первый из трех предложенных вариантов
определения отрицательно управляемо инвариантного множества не
удовлетворяет требованию обратимости этого понятия для обратимых
систем.
Проведенный анализ показывает, что остается два кандидата на
определение отрицательно управляемо инвариантного множества: вто-
рой и третий. Третий кандидат оказывается предпочтительнее, по-
скольку представляет собой одношаговую процедуру, в то время как
второй вариант к одношаговой процедуре не сводится.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
