ствам
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
. Тем самым совпадение множеств
Ω
r
ψ
и
Ω
r
ϕ
доказано и в случае убывающей функции
h
. Свойство доказано.
Свойство 3.
Если непрерывная функция
ϕ
:
X
→
R
достига-
ет на
X
точной верхней грани в некоторой точке
x
∗
∈
Q
, то
ϕ
r
sup
(
Q
) =
ϕ
l
sup
(
Q
) =
ϕ
sup
(
Q
) =
ϕ
(
x
∗
)
. Если функция
ϕ
достига-
ет на
X
точной нижней грани в некоторой точке
x
∗
∈
Q
, то
ϕ
r
inf
(
Q
) =
ϕ
l
inf
(
Q
) =
ϕ
inf
(
Q
) =
ϕ
(
x
∗
)
.
Доказательство.
Второе утверждение сводится к первому, если
поменять знак локализирующей функции. Кроме того, доказательства
для значений
ϕ
r
sup
(
Q
)
,
ϕ
l
sup
(
Q
)
,
ϕ
sup
(
Q
)
аналогичны. Поэтому ограни-
чимся лишь первым из них. Если функция
ϕ
достигает на
X
точной
верхней грани в некоторой точке
x
∗
∈
Q
, то для любого
u
∈
U
выпол-
няется неравенство
ϕ
(
F
(
x
∗
, u
))
≤
ϕ
(
x
∗
)
. Следовательно,
inf
u
∈
U
ϕ
(
F
(
x
∗
, u
))
−
ϕ
(
x
∗
)
≤
0
,
и точка
x
∗
принадлежит множеству
Σ
−
ϕ
∩
Q
. Ясно, что
ϕ
r
sup
(
Q
) = sup
x
∈
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
(
x
∗
)
.
Но верно и противоположное неравенство, поскольку
ϕ
(
x
∗
)
— точная
верхняя грань функции
ϕ
на
X
. Значит,
ϕ
r
sup
(
Q
) =
ϕ
(
x
∗
)
. Свойство
доказано.
Для систем с управлением существуют аналоги свойств, устано-
вленных для дискретных системы без возмущений и связанных со
сдвигами локализирующих множеств вдоль траекторий системы [3, 5].
Свойство 4.
Любое положительно управляемо инвариантное мно-
жество, содержащееся в множестве
G
⊂
X
, содержится и в мно-
жестве
F
−
1
∪
(
G
)
. В частности
,
если множество
G
содержит все по-
ложительно управляемо инвариантные компакты системы
(1)
,
то и
множество
F
−
1
∪
(
G
)
содержит все положительно управляемо инвари-
антные компакты системы.
Доказательство.
Если
K
⊂
G
— положительно управляемо инва-
риантное множество, то, согласно (2), имеем
K
⊂
F
−
1
∪
(
K
)
⊂
F
−
1
∪
(
G
)
,
поскольку при
G
1
⊂
G
2
для любого
u
∈
U
имеем
F
−
1
u
(
G
1
)
⊂
F
−
1
u
(
G
2
)
и, следовательно, выполняется включение
F
−
1
∪
(
G
1
)
⊂
F
−
1
∪
(
G
2
)
. Свой-
ство доказано.
Свойство 5.
Если множество
G
⊂
X
содержит все положительно
управляемо инвариантные компакты системы
(1)
,
то и множество
ˆ
F
∩
(
G
) =
u
∈
U
ˆ
F
u
(
G
)
содержит все положительно управляемо инвари-
антные компакты этой системы.
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
