Для нахождения значений
ϕ
r
inf
и
ϕ
r
sup
получаем следующие опти-
мизационные задачи:
Dx
+
Ey
→
sup
,
(
Db
−
E
)
y
≤
Dx
2
−
(
E
−
D
)
x
−
u
∗
;
(6)
Dx
+
Ey
→
inf
,
(
Db
−
E
)
y
≥
Dx
2
−
(
E
−
D
)
x
−
u
∗
.
(7)
Задачи (6), (7) детально исследованы в [10]. При
D
= 0
эти задачи
имеют тривиальные решения
+
∞
и
−∞
. Поэтому можно считать, что
D
= 0
, а согласно свойству 2 можно ограничиться случаем
D
=
−
1
.
В этом случае
u
∗
=
−
a
∗
,
u
∗
=
−
a
∗
, а задачи (6), (7) сводятся к следу-
ющим:
−
x
+
Ey
→
sup
,
x
2
+ (
E
+ 1)
x
−
(
b
+
E
)
y
−
a
∗
≤
0;
(8)
−
x
+
Ey
→
inf
,
x
2
+ (
E
+ 1)
x
−
(
b
+
E
)
y
−
a
∗
≥
0
.
(9)
Задача (9) имеет тривиальное решение
ϕ
r
inf
=
−∞
. Задача (8) имеет
тривиальное решение
ϕ
r
sup
= +
∞
при
E
≤ −
b
и при
E
≥
0
. Остается
случай
−
b < E <
0
, при котором
ϕ
r
sup
=
−
4
E
2
a
∗
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
.
Таким образом, при каждом значении
E
∈
(
−
b,
0)
имеем локализиру-
ющее множество
−
x
+
Ey
≤ −
4
E
2
a
∗
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
.
(10)
Преобразуем неравенство (10):
x
≥
Ey
+
4
E
2
a
∗
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
=
−
λy
−
4
λ
2
a
∗
+ (
λ
2
−
b
)
2
4
λ
(
b
−
λ
)
,
где параметр
λ
=
−
E
может принимать любое значение на интервале
(0
, b
)
. Из этого представления получаем неравенство, описывающее
пересечение семейства локализирующих множеств:
x
≥ −
min
λ
∈
(0
, b
)
λy
+
4
λ
2
a
∗
+ (
λ
2
−
b
)
2
4
λ
(
b
−
λ
)
.
Используя семейство локализирующих множеств (10), на основа-
нии свойства 4 можно получить семейство новых локализирующих
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
13
