положительно управляемо инвариантного множества. Можно предло-
жить, по крайней мере, три варианта определения отрицательно упра-
вляемо инвариантного множества:
1) как множества
M
, для которого существует такая обратная связь
h
:
X
→
U
, что для замнутой системы
x
n
+1
=
F
(
x
n
, h
(
x
n
))
любая от-
рицательная полутраектория, заканчивающаяся в
x
0
, целиком содер-
жится в
M
;
2) как множества
M
, для которого любой точке
x
0
∈
M
мож-
но поставить в соответствие такую последовательность управлений
u
−
n
,
n
= 1
,
2
, . . .
, что для системы (1) любая отрицательная полу-
траектория, заканчивающаяся в
x
0
и определяемая соотношениями
x
n
+1
=
F
(
x
n
, u
n
)
,
n
=
−
1
,
−
2
, . . .
, целиком содержится в
M
;
3) как множества
M
, для которого любой точке
x
0
∈
M
можно
поставить в соответствие такое управление
u
∈
U
, что множество
F
−
1
u
(
x
0
)
целиком содержится в
M
.
При выборе определения следует исходить из того, что если систе-
ма обратима, то отрицательно управляемо инвариантное множество
исходной системы должно быть положительно управляемо инвари-
антным для обратной системы. Уточним это требование. Если для
каждого
u
∈
U
отображение
x
→
F
(
x, u
)
является гомеоморфизмом,
то систему (1) назовем обратимой. При этом система
x
n
+1
=
H
(
x
n
, u
n
)
,
(3)
где отображение
H
определено соотношением
H
(
F
(
x, u
)
, u
) =
x
, на-
зывается обратной системе (1).
Лемма 2.
Для обратимой системы
(1)
следующие условия эквива-
лентны
:
1)
множество
M
⊂
X
является положительно управляемо инва-
риантным для системы
(3)
,
обратной системе
(1);
2)
любой точке
x
0
∈
M
можно поставитьв соответствие такую
последовательность управлений
u
−
n
, n
= 1
,
2
, . . . ,
что для системы
(1)
соответствующая отрицательная полутраектория, заканчиваю-
щаяся в
x
0
,
целиком содержится в
M
;
3)
любой точке
x
0
∈
M
можно поставитьв соответствие такое
управление
u
∈
U,
что
F
−
1
u
(
x
0
)
⊂
M
.
Доказательство.
Условие 3 в силу тог о, что прилюбом фикси-
рованном
u
∈
U
отображение
x
→
F
(
x, u
)
биективно, равносильно
условию: любой точке
x
0
∈
M
можно поставить в соответствие такое
управление
u
∈
U
, что
H
(
x
0
, u
)
∈
M
, или
x
0
∈
H
−
1
u
(
M
)
. Кратко по-
следнее условие можно записать так:
x
0
∈
u
∈
U
H
−
1
u
(
M
)
. Это значит,
что условие 3 эквивалентно условию 1 положительной управляемой
инвариантности
M
для обратной системы.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
5
