Множество
M
⊂
X
назовем отрицательно управляемо инвариант-
ным для системы (1), если любой точке
x
0
∈
M
можно поставить в
соответствие такое управление
u
∈
U
, что множество
F
−
1
u
(
x
0
)
целиком
содержится в
M
.
Лемма 3.
Множество
M
⊂
X
отрицательно управляемо инвари-
антно для системы
(1)
тогда и только тогда
,
когда
M
⊂
ˆ
F
∪
(
M
)
,
(4)
где
ˆ
F
∪
(
M
) =
u
∈
U
ˆ
F
u
(
M
)
,
а
ˆ
F
u
(
M
)
— множество точек
x
∈
X,
для
которых
F
−
1
u
(
x
)
⊂
M
.
Доказательство.
Условие, что
F
−
1
u
(
x
0
)
целиком содержится в
M
можно записать в виде
x
0
∈
ˆ
F
u
(
M
)
. С учетом этого отрицательная
управляемая инвариантность множества
M
означает, что для любой
точки
x
0
∈
M
существует такое управление
u
∈
U
, что
x
0
∈
ˆ
F
u
(
M
)
.
Это эквивалентно включению (4). Лемма доказана.
З а м е ч а н и е 3. Отметим, что
ˆ
F
u
(
M
) =
X
\
F
(
X
\
M, u
)
.
Далее ограничимся рассмотрением отрицательно управляемо ин-
вариантных множеств с дополнительным условием компактности —
отрицательно управляемо инвариантных компактов.
Введем в рассмотрение множества
ˇΣ
+
ϕ
=
x
∈
X
: inf
u
∈
U
sup
z
∈
F
−
1
u
(
x
)
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(
x
)
≤
0
,
ˇΣ
−
ϕ
=
x
∈
X
: sup
u
∈
U
inf
z
∈
F
−
1
u
(
x
)
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(
x
)
≥
0
.
Если
F
−
1
u
(
x
) =
∅
, то полагаем
sup
z
∈
F
−
1
u
(
x
)
ϕ
(
z
) =
−∞
,
inf
z
∈
F
−
1
u
(
x
)
ϕ
(
z
) =
∞
,
так что в этом случае
x
∈
ˇΣ
+
ϕ
и
x
∈
ˇΣ
−
ϕ
.
Для произвольного множества
Q
⊂
X
положим
ϕ
l
inf
(
Q
) = inf
x
∈
ˇΣ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
l
sup
(
Q
) = sup
x
∈
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Теорема 2.
Любой отрицательно управляемо инвариантный ком-
пакт системы
(1)
,
содержащийся в множестве
Q
⊂
X,
содержится
в множестве
Ω
l
ϕ
(
Q
) =
x
∈
Q
:
ϕ
l
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
(
Q
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
7
