Previous Page  10 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 13 Next Page
Page Background

12

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

Пример 2.

Построим первое аналитическое продолжение для при-

ближенного решения задачи Коши, рассмотренной в примере 1.

Начальное условие задачи Коши (13), (14):

0

(0,09) 0,502852718.

y

Значение возмущения

M

не превышает абсолютной погрешности

8

1,2 10 .

  

Вычислим

5

0,18798077.

 

Выберем значение

2

0,18,

x

принадлежащее области аналитично-

сти

0 5

.

x x

  

Расчеты, связанные с оценкой приближенного реше-

ния уравнения в случае возмущенного значения начального условия,

приведены ниже:

2

x

2

( )

y x

3 2

( )

y x



1



2



0,18 0,505788745 0,505788719 2,7·10

–8

0,002534567 10

–7

Здесь введены следующие обозначения:

2

( )

y x

— значение точного реше-

ния;

3 2

( )

y x

— значение приближенного решения;



— абсолютная по-

грешность;

1



— априорная погрешность, найденная по теореме 3;

2



— апостериорная погрешность.

Получаем решение обратной задачи теории погрешности (см. реше-

ние, приведенное в примере 1), и апостериорную погрешность. Опреде-

ляем значение

N

по заданной точности

2

приближенного решения

(12). При

7

2

10

 

15.

N

Фактически, для

4, 5, 6, , 15

N

получаем

уточнения аналитического приближенного решения, которые в общей

сумме не превышают требуемой точности

2

.

Следовательно, в струк-

туре аналитического приближенного решения можно ограничиться зна-

чением

3.

N

При этом находим апостериорную погрешность

2



для

приближенного решения

3 2

( ),

y x

равную значению

7

2

10 .

 

Обсуждение полученных результатов и их сопоставление с ра-

нее найденными результатами.

Результаты позволяют построить

приближенное решение задачи Коши для уравнения (2) в области ана-

литичности с любой заданной точностью. Для оптимизации структуры

приближенного аналитического решения используется апостериорная

погрешность.

Следует отметить, что ранее в работах [6, 7] были получены и изу-

чены приближенные решения для уравнений

3

( )

( ) ( )

y x y x r x

 

и

4

( )

( ) ( )

y x y x r x

 

в области аналитичности, представляющих собой

частные случаи уравнения (2). Анализ результатов, приведенных в

этих работах, и результатов, полученных в настоящей работе, позволя-

ет сделать следующие выводы. Оценки коэффициентов

n

С

, найденные