Previous Page  11 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 13 Next Page
Page Background

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

13

по формуле (10) для случаев

3

k

и

4

k

, являются улучшенными по

сравнению с оценками этих коэффициентов, полученными в указанных

выше работах. Что касается областей сходимости соответствующих

регулярных рядов, то они существенно увеличены по сравнению с ре-

зультатами, изложенными в работах [6, 7]. Проиллюстрируем это на

следующем примере.

Пример 3.

Рассмотрим задачу Коши из работы [7]:

4

( )

( ),

y x y x

3

(0,1) 1 3, 7 .

y

Эта задача имеет точное решение

3

1

( )

.

3 4

y x

x

 

Вычислим

2

0,1968085106

 

.

Выберем значение

1

0,12,

x

принадлежащее области

0 2

x x

  

.

Имеем

(0,12)

0,6500791026

y

и

3

(0,12)

0,6500790961

y

,

 

9

6,5 10

 

— абсолютная погрешность приближенного решения. Обо-

значим значения, взятые из работы [7], индексом «*». Результаты рас-

четов приведены ниже (

1

— априорная погрешность, найденная по

теореме 2):

2

*

2

1

*

1

0,1968085106 0,0560039177 0,0000047969 0,0109049371

Построим аналитическое продолжение для приближенного решения

рассматриваемой задачи Коши. Начальные данные:

0

0,12,

x

0

0,650079096.

y

По формуле (15)

5

0,1961206909.

 

Выберем значе-

ние

2

0,143

x

, принадлежащее области

0 5

.

x x

  

Имеем

(0,143)

y

0,6542394327,

3

(0,143) 0,6542394137,

y

8

1,9 10

  

— абсолютная

погрешность соответствующего приближенного решения. Результаты

расчетов представлены ниже (

2

— априорная погрешность, найденная

по теореме 3):

5

*

5

2

*

2

0,1961206909

0,0556449448 0,0000087138

0,02115635599

В результате проведенных расчетов имеем значение априорной по-

грешности, значительно меньшее значения, указанного в работе [7].

Заключение.

Доказана теорема существования и единственности

решения рассматриваемого нелинейного дифференциального уравне-

ния в области аналитичности, для которого построено аналитическое

приближенное решение и исследовано влияние возмущения начально-

го условия на приближенное решение. Получены оценки приближен-

ных решений. Теоретические результаты подтверждены расчетами.