Previous Page  6 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 13 Next Page
Page Background

8

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

Докажем сходимость ряда (6) в области

0

2

|

|

.

x x

  

Примем

 

( )

0

2

0

|

|

max | |, sup

!

n

n

r x

M

y

n

 

,

0, 1, 2,

,

n

что возможно в силу (5).

Учитывая выражения для коэффициентов

n

С

, полученные с помо-

щью программного обеспечения, приходим к следующей гипотезе

оценок:

1

1

2 2

1

|

|

1

n

n

k

n

C k M M

n

,

1, 2, 3,

n

(10)

Доказательство оценок (10) проведено методом математической

индукции на основании рекуррентного соотношения (9).

Составим вспомогательный ряд

1

1

2

2 2

1

1

1

n

n

k

n

M k M M

n

 

0

(

) ,

n

x x

 

который является мажорирующим для ряда (6). По призна-

ку Даламбера получаем сходимость мажорирующего ряда в области

0

1

2

1

|

|

.

1

k

x x

k M

 

Следовательно, эта область будет являться обла-

стью сходимости и для ряда (6). Полагая,

2

1

1

2

1

min ,

,

1

k

k M

  

 

получаем сходимость ряда (6) в области

0

2

|

|

,

x x

  

что и завершает

доказательство теоремы. ►

Оценки для коэффициентов

n

С

ряда (6), полученные в теореме 1,

позволяют построить приближенное решение задачи Коши (2), (3) в

виде

0

0

( )

N

N

n

n

n

y x

C x x

.

(11)

Теорема 2.

Пусть выполняются условия 1 и 2 теоремы 1, тогда

для аналитического приближенного решения (11) задачи Коши (2)

,

(3)

справедлива оценка погрешности

1

1

1

2 2

0

1

2

0

1 |

|

( )

1 1

1 |

|

N

k

N

N

N

k

M M

x x

k

y x

N

k M x x

 

 

в области

0

2

|

|

,

x x

  

где

2

и

2

M

— величины, введенные в теореме 1.