2 / 13
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Nonlinear ordinary differential equations are mathematical models of various pro-
cesses and phenomena of the real world; they belong to one of the most complicated
categories of differential equations due to the presence of integrals of movable singu-
lar points. The study tested a class of first-order nonlinear ordinary differential equa-
tions with polynomial right part of not lower than the third degree. The solutions of
these equations have movable singular points. The equations are not integratable in
quadratures in a common case. For solving nonlinear differential equations with mov-
able singular points of the algebraic type, we use the approximate method proposed by
V.N. Orlov. We prove the existence and uniqueness of Cauchy problem solution for the
class of differential equations in the analyticity region. In proving this theorem, we use
the method of majorants for solving the examined nonlinear differential equations, ra-
ther than for solving the right part of differential equations, as it is done in classic
literature. We offer the structure of approximate analytical solutions to the equations
under study with the exact and perturbed values of the initial conditions, and we esti-
mate the errors for these approximate solutions. The findings of the research are
illustrated with the examples of calculations which are compared with similar results
performed by other researchers.
Keywords:
nonlinear ordinary differential equation, movable singular point, Cauchy
problem, analytical approximate solution, error of the approximate solution, perturba-
tion of the initial condition, analyticity region.
Введение.
Многие задачи науки и техники сводятся к решению либо
линейных, либо нелинейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
достаточно полно разработана и содержит как точные, так и прибли-
женные методы решения. В настоящее время для нелинейных диффе-
ренциальных уравнений такой разработанной теории пока нет. Особен-
ность нелинейных дифференциальных уравнений — наличие подвиж-
ных особых точек у их решений. Нелинейные дифференциальные урав-
нения относятся к категории уравнений, не разрешимых в квадратурах в
общем случае. Наличие подвижных особых точек не позволяет приме-
нять к нелинейным дифференциальным уравнениям известные аналити-
ческие и численные приближенные методы, поскольку последние не
адаптированы к такому виду особых точек. В связи с этим задача
нахождения приближенных решений указанного выше класса нелиней-
ных дифференциальных уравнений является актуальной.
Материалы и методы решения задачи, принятые допущения.
В настоящей работе применен приближенный метод решения нели-
нейных обыкновенных дифференциальных уравнений с подвижными
особыми точками алгебраического типа, основанный на методах ана-
литической теории дифференциальных уравнений, математического
анализа и вычислительной математики. Идея метода изложена в рабо-
тах [1–6] и заключается в разделении области поиска решения диффе-
ренциального уравнения на область аналитичности и окрестность по-
движной особой точки, а затем в построении аналитических прибли-
женных решений в этих областях. Приближенный метод основан на
решении следующих задач: