Previous Page  4 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 13 Next Page
Page Background

6

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

где

2 1

1

/2

exp

;

k

k

k k

f f

w

f

dx

C f

 

1

k

k

f w dx

 

, уравнение (1) приво-

дится к нормальной форме

( )

( ) ( )

k

u u

I x

    

, при этом

k

k

f w I

1

1 1

1

0

1

1

1

1

k

k

k

k

k k

k

k

k

f

d f

f f

k

f

k dx f

k f

k f

 

.

Рассмотрим задачу Коши

( )

( ) ( ),

k

y x y x r x

 

3

k

;

(2)

0

0

( )

y x y

.

(3)

Докажем существование и единственность аналитического реше-

ния задачи (2), (3). Известная теорема Коши о существовании и един-

ственности решения задачи Коши, относящаяся к одному подходу

доказательства теоремы, не позволяет решить поставленную задачу.

В работах [1–6] предложен другой подход в доказательстве теорем —

метод мажорант, который применяется не к правой части дифференци-

ального уравнения как в классическом случае, а к решению уравнения.

Такой подход позволяет получить решение поставленной задачи.

Теорема 1.

Пусть функция

( )

r x

задачи Коши (2), (3) удовлетворя-

ет следующим условиям:

1)

( )

r x C

в области

0 1

|

|

,

x x

  

(4)

где

1

const 0;

  

2)

1

:

M

( )

1

|

( )|

!

n

r x M

n

(5)

x

из области (4), где

1

const,

M

0, 1, 2

n

Тогда решение этой

задачи Коши является аналитической функцией

0

0

( )

n

n

n

y x

С x x

(6)

в области

0

2

|

|

,

x x

  

где

2

1

1

2

1

min ,

1

k

k M

  

 

,

 

( )

0

2

0

|

|

max | | , sup

!

n

n

r x

M

y

n

 

,

0, 1, 2,

n