Previous Page  7 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 13 Next Page
Page Background

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

9

С учетом оценок (10) для коэффициентов

n

С

имеем

( )

( )

( )

N

N

y x y x y x

  

0

0

0

0

(

)

(

)

N

n

n

n

n

n

n

C x x

C x x

 

 

0

1

n

n

n N

C x x

 

 

1

1

0

2 2

0

1

1

1

1

n

n

n

k

n

n

n N

n N

C x x

k M M x x

n

 

 

 

  

1

1

1

2 2

0

1

2

0

1

1 1

1

N

N

k

N

k

M M

x x

k

N

k M x x

 

 

,

при этом

1

2

0

1

1

k

k M x x

  

. Следовательно, теорема доказана. ►

Пример 1.

Рассмотрим задачу Коши (2), (3), где

5,

k

( ) 0,

r x

0

0,

x

0

1 / 2.

y

Эта задача имеет точное решение

4

1

( )

.

16 4

y x

x

Вычислим радиус области аналитичности с учетом начального условия

задачи Коши

2

0,188235294.

 

Выберем значение

1

0,09,

x

принадлежащее области

0

2

|

|

.

x x

  

Расчеты, связанные с оценкой приближенного решения уравнения в

случае точного значения начального условия, приведены ниже:

1

x

1

( )

y x

3 1

( )

y x

1

2

0,09

0,502852731 0,502852718 1,2·10

–8

0,002503452 10

–6

Здесь введены следующие обозначения:

1

( )

y x

— значение точного

решения данного уравнения;

3 1

( )

y x

— значение приближенного реше-

ния;

— абсолютная погрешность;

1

— априорная погрешность,

найденная по теореме 2;

2

— апостериорная погрешность.

С использованием теоремы 2 можно решить обратную задачу тео-

рии погрешности, связанную с нахождением апостериорной погрешно-

сти, т. е. определить значение

N

по заданной точности

1

приближен-

ного решения. Для

6

1

10

 

получаем значение

12.

N

Фактически,

для

4, 5, 6,

, 12

N

определяем уточнения приближенного решения

3 1

( ),

y x

которые в общей сумме не превышают требуемой точности

1

.

В связи с этим можно ограничиться в структуре приближенного реше-