Previous Page  5 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 13 Next Page
Page Background

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

7

Из условия теоремы следует, что функция

( )

r x

является анали-

тической функцией в области (4) и может быть представлена в виде

0

0

( )

.

n

n

n

r x

A x x

(7)

Подставляя ряд (6) в уравнение (2) с учетом (7), получаем

0

0

0

0

0

0

k

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C x x

C x x

A x x

 

 

 

.

Выполнив соответствующие преобразования, имеем

1

0

0

0

1

0

0

,

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n C x x

B x x

A x x

 

или

 

1

0

0

1

0

.

n

n

n

n n

n

n

n C x x

B A x x

(8)

Здесь

1

1

0

k

k

n

n

n i

i

B

C

1

2

3

2

1 2

2 3

3 2

2 1 1

2

3

2

1

0

0

0

0

.

k

k

k k

k

k

k

k

i

i

i

i

i

i

i

i

i i

i i i

i

i

i

i

C

C

C

C C

 

 

 

 

Равенство (8) обратится в тождество при условиях

1

1

,

n n

n

n C B A

 

1, 2,

n

(9)

Рекуррентное соотношение (9) позволяет однозначно определить

все коэффициенты

1 2

,

,

,

,

 

n

С C C

Таким образом, получено фор-

мальное единственное представление решения задачи Коши (2), (3) в

области

0

1

|

|

x x

  

в виде степенного ряда (6).

На основе соотношения (9) для коэффициентов структуры реше-

ния (6), получим

( 1) 1 0 0 1

1

( , , , ,

)

n n k

n

С P C A A A

 

,

1, 2,

,

n

где

( 1) 1

n k

P

 

— полином степени

( 1) 1

n k

 

от

0 0 1

1

, , ,

,

n

C A A A

с поло-

жительными рациональными коэффициентами.