10 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
51
Нетрудно проверить, что
2
0
, , ,
G x y t
2
2
2
2
0
ch
ch
sh
ch
cos
sin
2
2
2
2
ch
ch /
cos /
x t
x t
y
y
a
a
a
a
d
a
x t
a
y a
2
0
0
ch ρ
1 ,
ρ ρ
ρ;
2π ch ρ
a y
K x t y
J x t d
a
2
0
2
0
0
sh
ch 2 sin 2
1
, , ,
ch
ch ) cos
sh ρ
1 ,
ρ
ρ.
2π ch ρ
x t
a
y a d
G x y t a
a
x t
a
y a
y
L x t y
J x t d
a
Следовательно, решение смешанной краевой задачи для уравнения
Пуассона в трехмерном бесконечном слое можно записать как
2
2
0
,
φ
, , ,
u x y
t
G x y t
dt
2
2
2
2
0
, , ,
,
, , ,
,
a
t G x y t a d
f t G x y t dtd
где
2
0
, , ,
sh
ch 2 cos
2
1
2
ch
ch
cos
sh
ch 2 cos
2
.
ch
ch
cos
G x y t
x t
a
y
a
a
x t
a
y
a
x t
a
y
a
d
x t
a
y
a
В частности, для решения смешанной краевой задачи для уравнения
Лапласа в трехмерном бесконечном слое имеет место формула другого
вида
2
sin 2
,
y a
v x y
a