5 / 15
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
2
0
0
ch ρ
1 ,
ρ ρ ρ;
2π ch ρ
a y
K x y
J x d
a
2
0
0
sh ρ
1 ,
ρ ρ,
2π ch ρ
y
L x y
J x d
a
где
0
ρ
J x
— функция Бесселя.
Решение неоднородного уравнения с однородными краевыми
условиями.
Запишем решение уравнения с однородными краевыми
условиями:
Δ ,
, ,
, 0
;
n
w x y f x y x
y a
, 0 0,
;
n
w x
x
,
0,
.
n
y
w x a
x
Применим преобразование Фурье к уравнению Пуассона по
x
, обо-
значив
,
, ;
,
, .
x
x
W t y
w t y F t y
f t y
Получим краевую
задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с парамет-
ром
:
n
t
2
,
,
, ;
yy
t W t y W t y F t y
, 0 0;
,
0.
y
W t
W t a
Решение рассматриваемой задачи будем искать в виде разложения в
ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля
2
0;
z y
z y
0 0,
0,
z
z a
т. е. по функциям
0
2 1
sin
,
0, 1, 2, 3, ;
2
2 1
,
sin
.
2
k
k
k y
k
a
k y
W t y
b t
a
Правую часть уравнения Пуассона разложим в ряд Фурье
0
2 1
,
sin
;
2
k
k
k y
F t y
f t
a