13 / 15
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
2 2 2
1 2 3
;
r x x x x
*
*
3
0 0
3
0
1
0
1
, , ,
, ,
, ,
2π
G x y x y G r y y
G r y y
r r
0
0
0
0
ch 2 cos
2
1
1 ln
2π 4 ch 2 cos
2
ch 2 cos
2 sh
1 ln
4 ch 2 cos
2
4
r a
y y a
r r
r a
y y a
r a
y y a
r a
r a
y y a
ar
0
0
0
0
cos
2
cos
2
,
ch
cos
ch
cos
y y a
y y a
r a
y y a
r a
y y a
где
0
.
r x x
Нетрудно проверить, что
3
3
0
, , ,
, .
G x y t
K x t y
Тогда решение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона для
бесконечного слоя в четырехмерном пространстве можно записать как
3
3
0
,
φ
, , ,
u x y
t
G x y t
dt
3
3
, , ,
t G x y t a d
3
3
0
,
, , ,
,
a
f t G x y t dtd
где
3
sh
, , ,
4
r a
G x y t
ar
cos
2
cos
2
,
ch
cos
2 ch
cos
y
a
y
a
r a
y
a
r a
y
a
.
r x t
Заключение.
Полученные формулы для решения смешанной крае-
вой задачи Дирихле — Неймана для уравнения Лапласа в бесконечном
слое применимы и в том случае, когда граничные значения являются
обобщенными функциями медленного роста. Тогда решение является
обобщенным: слабо сходится в пространстве к заданным граничным