4 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
45
Решение краевой задачи получено в работе [1]:
,
φ
,
ψ
, ,
n
n
v x y
x K x y
x L x y
(1)
где
1
ch
,
, ,
,
,
;
ch
n
n
t
n
n
t a y
K x y
k x y k t y
t
a t
1
sh
,
, ,
,
,
.
ch
n
n
t
n
n
t y
L x y
l x y l t y
t
t
a t
Свертка (1) существует для любых обобщенных функций медлен-
ного роста
φ
,
n
x
ψ
n
x
и записывается в виде
φ
,
ψ
,
φ ,
,
ψ ,
, .
n
n
n
n
x K x y
x L x y
t
K x t y
t L x t y
Когда
φ и ψ
x
x
— обычные функции полиномиального роста,
свертку (1) представляют суммой интегралов
φ
,
ψ
,
.
n
n
n
n
t K x t y dt
t L x t y dt
Для сферически симметричных функций
*
*
,
,
,
n
n
n
K x y K x y K r y
и
*
*
,
,
,
n
n
n
L x y L x y L r y
имеет место рекуррентная формула
2
1
,
2π
n
n
H r
H r
r r
(2)
с помощью которой можно вычислить ядра при любом значении
,
n
зная их для
1 и
2.
n
n
Для указанных значений
n
ядра имеют вид
1
π
π
sin ch
1
2
2
,
;
ch
cos
y
x
a
a
K x y
x
y
a
a
a
1
π
π
ch
sin
1
2
2
,
ln
;
π
π
2π ch
sin
2
2
x
y
a
a
L x y
x
y
a
a