2 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
43
Двух- и трехмерное уравнения Пуассона описывают многие ста-
ционарные процессы при наличии источников (стоков) в различных
областях механики и физики, например, в теории тепло- и массопере-
носа, гидро- и аэромеханике, электростатике и т.д. В связи с этим по-
иск решений различных краевых задач для уравнения Пуассона (и но-
вых более простых форм решений) весьма актуален.
Для
n
-мерного полупространства основным методом решения кра-
евых задач для линейных уравнений в частных производных с посто-
янными коэффициентами является преобразование Фурье по перемен-
ным в граничной гиперплоскости [2]. Этот метод применим и для
бесконечного слоя. Для полосы и бесконечного слоя в трехмерном
пространстве решения краевой задачи известны [3], причем функция
Грина записывается в виде бесконечного ряда. Для бесконечного слоя
в
n
-мерном пространстве задача Дирихле для уравнения Лапласа ре-
шена другим методом [4]. В настоящей работе решение получено в ин-
тегральной форме, ядра интегралов выражены в конечном виде через
элементарные функции и функции Бесселя. При этом найдено рекур-
рентное соотношение, связывающее ядра интегралов для
n
-мерного и
(
n
+2)-мерного слоев.
Обозначения. Постановка задачи.
Введем следующие обозначе-
ния:
1
1
1
, ,
; ,
, , ,
;
n
n
n
n
x x
x
x y x
x y
2
2
1 1
1
;
;
,
n
n n
y
x x
x xt x t
x t
1 1
1
; Δ ,
Δ
n n
n
x x
x x
yy
dx dx dx u x y u u
u u
—
оператор Лапласа;
n
ixt
F t
f t
f x e dt
— преобразование
Фурье суммируемой функции
.
f x
Если суммируемая по
x
функция
,
f x y
зависит от переменных
x
и
y
, то ее преобразование Фурье по
x
обозначим как
,
,
.
n
ixt
x
f t y
f x y e dx
Аналогично определяем обратное преобразование Фурье суммируемой
функции
F t
1
1
2π
n
ixt
n
f x
F x
F t e dt