Previous Page  2 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 12 Next Page
Page Background

Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4

29

включений и от объемной концентрации включений. Новые подходы к задаче

оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с включения-

ми простой формы были применены в работах [6–8]. Использованы методы вари-

ационного исчисления, при этом рассмотрена упрощенная модель окрестности

включения. Из современных работ по этой теме также отметим работы [9–13].

Мощность современных компьютеров позволяет применить принципиаль-

но другой подход к решению задачи об эффективной теплопроводности. Про-

цесс теплопроводности можно моделировать с помощью диффузионных про-

цессов, т.

е. случайных блужданий виртуальных частиц теплоты. Эти частицы

представляют собой выборку из распределения, плотность которого в каждый

момент времени пропорциональна плотности внутренней энергии, т. е. темпе-

ратуре, отсчитываемой от некоторого выбранного нуля (не обязательно абсо-

лютного), умноженной на объемную теплоемкость. Идея состоит в том, чтобы

сформулировать удобно вычисляемую оценку температуропроводности, кото-

рая аналитически рассчитана для однородного материала, и статистически оце-

нивать ее для композитного материала.

Композит с шаровыми включениями нулевой и ненулевой теплопроводно-

сти рассмотрен в работах [14, 15], в которых проведен вычислительный экспе-

римент, моделирующий теплопроводность сквозь слой композита, если на од-

ной стороне слоя имеется источник теплоты, а на другой — задано граничное

условие первого рода. В качестве критерия теплопроводности рассмотрена ве-

роятность того, что виртуальная частица теплоты успеет пересечь слой компо-

зита за заданное время. Результаты сравнивались с результатами, полученными

аналитическими методами [6].

В настоящей статье использован другой критерий теплопроводности:

насколько за заданное время сместится так называемый центр внутренней энер-

гии, определяемый так же, как и центр масс или заряда. Рассчитанные оценки

эффективного коэффициента теплопроводности оказались более точными, чем

оценки, приведенные в работах [14, 15], при таком же объеме вычислений.

Моделирование теплопроводности винеровскими процессами.

Пусть

пространство заполнено изотропным материалом с объемной теплоемкостью

C

и коэффициентом теплопроводности

,

тогда уравнение теплопроводности

имеет вид

2

= ,

u a u

где

= ( , , , )

u u t x y z

— температура,

= /

a C

— коэффициент

температуропроводности.

Если известно начальное распределение температуры

0

( , , ),

u x y z

то можно

получить распределение температуры через время

t

с помощью свертки [16]:

0

( , , , ) = ( , , ),

t

u t x y z u p x y z

(1)

где

2 2 2

3

1

( , , ) =

exp

4

( 4 )

t

x y z

p x y z

at

at

 



(2)

— плотность нормального распределения с нулевым средним, дисперсиями

Dx

= = = 2

Dy Dz at

и нулевыми корреляциями.