Previous Page  4 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 12 Next Page
Page Background

Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4

31

Применим метод Фурье. Для теплоизолированных поверхностей граничные

условия

(0, ) = ( , ) = 0,

x

x

u t u b t

следовательно, в гильбертовом пространстве

2

[0, ]

L b

необходимо взять следующий ортонормированный базис:

0

1

2

( ) = , ( ) = cos

, =1, 2, 3,

n

nx

f x

f x

n

b

b

b

(3)

Разложим дельта-функцию

( )

x

по базису (3):

0

,

=1 , < ,

>= 2 ,

n

f

b

f

b

 

следовательно,

=0

=1

1

( )

< ,

> ( ) = 1 2 cos

.

n n

n

n

nx

x

f

f x

b

b



При

> 0

t

из уравнения теплопроводности

2

= =

xx

u a u au

получаем

2 2

2

=1

1

( , ) = 1 2 cos

exp

.

n

nx

n at

u x t

b

b

b

Распределение внутренней энергии при различных значениях времени

t

приведено на рис. 1.

Рис. 1.

Распределение внутренней энергии

при значениях времени

2

0,04 /

t

b a

(

1

),

2

0,25 /

t

b a

(

2

) и

2

0,1 /

t

b a

(

3

)

Найдем статический момент внутренней энергии. Для этого вычислим

вклад каждого слагаемого ряда Фурье:

0

0

0

2

2

2 2

0

2 2

cos

=

sin = 0

sin

=

0,

четно;

= cos

= 2 ,

нечетно.

b

b

b

b

nx

b

nx

b

nx

x

dx

xd

dx

b

n

b

n b

n

b

nx

b

n

b

n

n

 

 

 

Учитывая

=1

E

, получаем

2

2

2

2

2

2

2

=0

1

2

(2 1)

( ) = ( ) =

2

exp

=

2

(2 1)

x

k

b

b

k at

x t M t

b

k

b

 

 

2

2

2

2

2

=0

8

1

(2 1)

= 1

exp

= ( ),

2

(2 1)

k

b

k at

bX

k

b

 

(4)