Previous Page  3 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 12 Next Page
Page Background

О.В. Пугачев, Зо Тун Хан

30

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4

Одномерный случайный процесс

0

{ }

w

 

называется стандартным вине-

ровским, если

(0, )

w

и его приращения

2

1

1

, ,

,

k

k

w w w w

 

1 2

0 < < <

k

  

независимы. Параметр

имеет размерность квадрата рассто-

яния. Если компоненты

,

t

,

t

t

трехмерного случайного процесса — незави-

симые винеровские процессы с распределением

(0, 2 )

at

, то плотность рас-

пределения случайной величины

( , ,

)

t t

t

  

при заданном значении

> 0

t

вы-

ражается формулой (2). Следовательно, решение уравнения теплопроводности

по формуле (1) может быть получено с использованием винеровского процесса:

пусть трехмерная случайная величина

0 0 0

( , , )

X Y Z

имеет плотность распределе-

ния

0

( , , )

u x y z

, тогда трехмерная случайная величина c координатами

0

0

0

=

,

= ,

=

t

t

t

t

t

t

X X Y Y Z Z

 

 

 

будет иметь плотность распределения

( , , , )

u t x y z

. В рассматриваемой математической модели процесс теплопровод-

ности представлен как случайное блуждание виртуальных частиц теплоты, ко-

торые являются выборкой из распределения с плотностью, в каждый момент

времени пропорциональной плотности внутренней энергии.

Решение уравнения теплопроводности с помощью случайных процессов

можно модифицировать для ограниченного тела

,

U

на поверхности которого

отсутствует теплообмен с окружающей средой путем теплопроводности или из-

лучения: траектории виртуальных частиц должны отражаться от теплоизолиро-

ванной поверхности.

Смещение центра внутренней энергии.

Пусть

U

— тело в пространстве.

Обозначим через

плотность внутренней энергии:

Cu

 

(температура, от-

считываемая от выбранного нуля, умноженная на объемную теплоемкость). То-

гда полная внутренняя энергия тела равна

= ( , , )

.

U

E

x y z dxdydz



Статическими моментами внутренней энергии назовем величины

=

,

=

,

=

.

x

y

z

U

U

U

M x dxdydz M y dxdydz M z dxdydz







Центр внутренней энер-

гии — точка с координатами

= , = , = .

y

x

z

M M

M

x

y

z

E

E

E

Идея метода, применяемого в настоящей работе, заключается в том, чтобы

оценить теплопроводность по скорости смещения центра внутренней энергии,

который находим как центр локализации виртуальных частиц. Рассмотрим слой

{0

}

x b

 

с коэффициентом температуропроводности

a

, имеющий тепло-

изолированные поверхности. Пусть в начальный момент времени

( = 0)

t

внутренняя энергия распределена с единичной поверхностной плотностью в

бесконечно тонком слое у поверхности

{ = 0}

x

, т.

е.

( , , ) = ( ),

x y z

x

где

дельта-функция Дирака. Температура

u

не зависит от параметров

,

y

z

и далее

зависеть не будет

( = ( , )).

u u x t