Previous Page  6 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 12 Next Page
Page Background

Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4

33

2 2

2

2

2

2

=1

0

0

2 2

2

2 2

2

=1

1

( , ) =

2 cos

exp

=

1

( 1)

=

4

exp

,

3

b

b

n

n

n

nx

n at

x u x t dx

x

x

dx

b

b

b

n at

b

n

b

поскольку

2

3

2

2 2

2 2

0

0

2

2

cos

=

cos

= ( 1) .

b

b

n

nx

b

nx

b

x

dx

x

b

n

b

n

Отсюда получаем дисперсию координаты

x

одной частицы

2

2

2

2

0

0

( ) = (

( )) ( , ) = ( , )

( ) = ( ),

b

b

Dx t

x x t u x t dx x u x t dx x t b D

где

( )

D

— безразмерная функция,

2 2

2

2 2

=1

1

( 1)

( ) = 4

exp(

)

( )

3

n

n

D

n X

n

 

   

(рис. 2,

б

). При

  

функция

( )

D

стремится к

1/12

— дисперсии равно-

мерного распределения. При всех

справедлива оценка

( ) / 2,

D

  

причем

это неравенство очень близко к равенству при

0 < 0,07,

 

что соответствует

0< ( ) 0,3.

X

 

Для

n

частиц имеем

2

ˆ( )= ( )/ = ( )/ .

Dx t Dx t n b D t n

Если в вычислительном

эксперименте получено значение

ˆ,

x

то точечную оценку эффективного

коэффициента температуропроводности

a

находим из уравнения

2

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

( ) = = ( / ) =

( / ).

b

bX x

X x b a X x b

t

  

(5)

Согласно центральной предельной теореме,

-доверительный интервал для

ˆ

x

имеет вид

( )

( )

ˆ

ˆ < <

,

q D

q D

x

b x x

b

n

n

где

q

— квантиль уровня

(1 ) / 2

 

стандартного нормального распределения

(например, для

=0,95

= 1,96);

q

— значение, полученное из (5). Необхо-

димо так подобрать значение времени

,

t

чтобы минимизировать довери-

тельный интервал для коэффициента температуропроводности

,

a

который в

линейном приближении равен

2

2

1

( )

( )

( )

( )

ˆ

=

( ) ( / ) =

=

.

ˆ

( )

( )

q D a q D b

qb D qa D

b

b X x b

x

tb

t X

X

n

n

n

n

 

 

Таким образом, относительная погрешность определения коэффициента

a

при

доверительной вероятности 95 % приблизительно составляет

1,96 ( )

1

( )

D

X n

  

.

Второй сомножитель в этом выражении зависит от величины

(рис. 2,

в

).