3 / 17
Сравнительный анализ оценок теплопроводности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
69
( ( )
( )) = 0
,
M T M M V
λ
(1)
где
— векторный дифференциальный оператор Гамильтона;
λ
— тензор
второго ранга теплопроводности композита; знак «·» обозначает операцию
свертки по одинаковым индексам этих сомножителей при их координатном
представлении.
Для однозначного решения уравнения (1) необходимо располагать гранич-
ными условиями на поверхности
S
области
.
V
Выделим на этой поверхности
участки
T
S S
и
= \ .
q
Т
S S S
На участках
T
S
примем известными распределения
температуры, определяемые по равенству
( ) = ( )
,
T
T
T N f N N S
(2)
где
( )
T
f N
— заданная функция, зависящая от положения точки
N
на участ-
ках
.
Т
S
На участках
q
S
граничные условия запишем как
( )
( ) ( ) = 0
.
q
q
N T N f N
N S
n λ
(3)
Здесь
( )
N
n
— единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
в точках
;
q
N S
( )
q
f N
— заданная функция, зависящая от положения точки
N
на
участках
.
q
S
Уравнение (1) и граничные условия (2), (3) составляют дифференциальную
формулировку задачи установившейся теплопроводности в неоднородном ани-
зотропном композите, расположенном в рассматриваемой области
.
V
Этой
формулировке можно поставить в соответствие вариационную формулировку
задачи, содержащую минимизируемый функционал
1 [ ]= ( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ).
2
q
V
S q
J U
T M M T M dV M f N T N dS N
λ
(4)
Функционал (4) допустимо рассматривать на множестве непрерывных в об-
ласти
V
и кусочно дифференцируемых в ней функций
( ),
T M
,
M V
удовле-
творяющих в качестве дополнительного условию (2) на участках
T
S
поверхно-
сти
.
S
Этот функционал является строго выпуклым (вниз) [12, 14] и в стацио-
нарной точке
*
( ),
T M
= ,
M V V S
достигает наименьшего значения
*
*
*
*
1 [ ]= ( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ).
2
q
V
Sq
J T
T M M T M dV M f N T N dS N
λ
(5)
В случае достаточной гладкости функции
*
( )
T M
она будет удовлетворять
дифференциальной формулировке задачи, включающей в себя дифференциаль-
ное уравнение (1) и граничные условия (2), (3).
Область определения функционала (4) можно расширить введением век-
торной функции
( ) = ( )
( ),
M M T M
q
λ
,
M V
соответствующей вектору