4 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
плотности теплового потока. Если наложить на эту функцию дополнительные
условия, определяемые по уравнению
( )=0
M M V
q
(6)
и равенству
( ) ( ) = ( )
,
q
q
N N f N N S
q n
(7)
то получим альтернативный по отношению к функционалу (4) максимизируе-
мый функционал
1
[ ]= ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
2
T
V
ST
I
M M M dV M f N N N dS N
q
q ρ q
q n
(8)
где
ˆ
— тензор второго ранга, обратный тензору
.
λ
Функционал (8) допустимо
рассматривать на множестве непрерывно дифференцируемых в области
V
век-
торных функций
( ),
M
q
,
M V
удовлетворяющих уравнению (6) и равенству
(7) и интегрируемых на участках
T
S
поверхности
.
S
Функционал (8) является
строго выпуклым вверх [12, 14] и в стационарной точке
*
( ),
M
q
,
M V
достига-
ет наибольшего значения
*
[ ],
I
q
совпадающего со значением
*
[ ],
J T
определяе-
мым по формуле (5).
Альтернативные функционалы (4) и (8) в сочетании с соотношением
*
*
[ ] [ ] [ ] [ ]
J T J T I
I
q q
(9)
составляют двойственную вариационную формулировку задачи установившей-
ся теплопроводности в неоднородном анизотропном твердом теле. Использо-
вание этой формулировки позволяет установить двусторонние границы, между
которыми должны быть расположены искомые значения тензорных характери-
стик теплопроводности однонаправленного волокнистого композита, а также
оценить наибольшую возможную погрешность, которая возникает в случае
приравнивания этих характеристик полусумме установленных граничных зна-
чений.
Представительный элемент структуры композита.
В качестве области
,
V
занятой однонаправленным волокнистым композитом, выберем прямоуголь-
ный параллелепипед со сторонами
,
B
=1, 2, 3,
объемом
0 1 2 3
= .
V B B B
В одной
из вершин этого параллелепипеда поместим начало прямоугольной декартовой
системы координат
1 2 3
,
Ox x x
координатные оси которой направлены вдоль ре-
бер, исходящих из этой вершины. Примем, что все волокна ориентированы па-
раллельно координатной оси
3
.
Ox
Матрицу композита полагаем изотропной с коэффициентом теплопровод-
ности
,
а волокна — трансверсально изотропными с главными значениями
тензора теплопроводности
1 2
= =
и
3
= ,
определенными в выбранной
системе координат. В этом случае главные оси тензора
*
λ
эффективной тепло-