Previous Page  3 / 20 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 20 Next Page
Page Background

Конечно-элементный метод решения трехмерных задач…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

75

где

σ

— тензор напряжений;

ε

— тензор малых деформаций;

w

— вектор пе-

ремещений в варьированном (неустойчивом) состоянии;

3

– тензор Леви-

Чивиты.

Решение задач (1), (2) осуществляют в соответствии с приведеным ниже ал-

горитмом.

1. Решают задачу (1) для основного состояния при значении параметра

1.

 

2. Вычисляют поле тензора напряжений

 

0

1 .

σ

В силу линейности задачи

любому другому значению параметра

соответствует поле тензора напряже-

ний

 

 

0

0

1 .

  

σ

σ

3. Подставляют поле

 

0

σ

в (2), получают задачу теории устойчивости

(задачу на собственные значения

).

4. Решают задачу (2), вычисляют систему собственных значений

и соб-

ственных функций

.

w

Вариационная формулировка задачи трехмерной теории устойчивости.

Для задач (1), (2) могут быть сформулированы вариационные постановки. Рас-

смотрим задачу (1) равновесия для основного (устойчивого) состояния. Введем

кинематически допустимое поле

0

0

,

 

Ψ u

где

0

u

— вариация вектора пере-

мещения

0

,

u

понимаемая как разность двух кинематически допустимых полей.

Примем, что данное поле удовлетворяет нулевому граничному условию на ча-

сти поверхности

u

области

.

V

Умножая скалярно уравнение равновесия из

системы (1) на

0

Ψ

и интегрируя полученное выражение по области

,

V

с учетом

преобразования

0

0

0 0

0

0

 

 

Ψ σ

Ψ σ σ Ψ

и теоремы Гаусса — Остроградского получаем вариационное уравнение для за-

дачи равновесия в основном состоянии

 

 

4

0 0

0 0

0

0.

e

V

dV

d



   

C ε u ε u

S u

(3)

Используя аналогичный подход применительно к задаче устойчивости (2) в

варьируемом состоянии, приходим к вариационному уравнению

 

 

0

т

4

0.

V

dV

   

C ε w σ w

w

(4)

Уравнение (4) является задачей на собственные значения, в которой после

подстановки

 

 

0

0

1 ,

  

σ

σ

требуется найти собственные значения

и соот-

ветствующие им собственные функции

.

w

На практике особый интерес пред-

ставляет наименьшее собственное значение

min

,

поскольку ему соответствует

наименьшая критическая нагрузка

кр

,

e

S

приводящая к первой форме потери